圆、相似、三角函数复习.doc

圆、相似、锐角三角函数复习分析与建议北师大实验中学 费志良一、2010年中考说明对这三部分内容的考试要求程度：考试内容考试要求ABC空间与图形图形与变换相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会运用比例的基本性质解决相关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小图形的认识相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理与计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题1.对“相似”内容的要求：这部分要求与2009年相比的变化为：把比例线段、相似多边形、位似整合成相似，强调相似作为一种变换，并且把比例的基本性质、相似多边形的性质、位似变换的作用凸显出来，与平移、轴对称、旋转共同组成初中几何变换的重要内容，这与课程标准相符，相似三角形，重在运用性质与判定进行简单的推理与计算，与三角形、全等三角形、等腰三角形与直角三角形内容并列，作为图形认识的一部分，在考试说明中这部分内容没有C级要求，说明这部分考题的难度要比其他三种变换、全等三角形、等腰三角形与直角三角形的难度低，基础、中档题居多。如07年21题；08年19题第二问（也可用三角函数解决）、24题第二问、第三问（这两问还均可用三角函数解决）；09年12、20题第二问（也均可用三角函数解决）、25题第一问共9分左右。BCDGEA例1. （2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，相交于求证： 2. 对“锐角三角函数”内容的要求：考试内容考试要求ABC空间与图形图形的认识勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形锐角三角函数了解锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；知道30、45、60角的三角函数值由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30、45、60角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 这部分内容同2009年相比，没有任何变化，但保留了两个C级要求，说明锐角三角函数非常重要，尤其是把锐角三角函数作为一种工具，结合勾股定理及其逆定理，综合解决几何计算与求值问题。如：北京市07年13题、18题、19题第二问、24题第三问；08年13题、18题、19题第二问、24题第二问、第三问、25题第三问；09年12题、19题、20题第二问、24题第二问、25题第三问共12分左右.例2.如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示） xyOlBPMA当时，当时， 当时， 3. 对“圆”内容的要求：考试内容考试要求ABC空间与图形图形的认识圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能运用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题弧长会计算弧长利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积与全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题空间与图形图形的认识点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题这部分内容同2009年相比，把切线长部分整合到直线与圆的位置关系中，没有其他变化，保留了三个C级要求，一般情况下，除基础题外，中档偏难一点的题型容易在中考中考查。如：北京市07年12题、19题、24题第三问；08年3题、8题、19题；09年8题、10题、20题共13分左右。解答题题型举例：（1）圆与解斜三角形 例3（2010.1昌平期末）如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，求的长 +1（2）圆与相似例4.（2010.1通州期末） 如图，O是ABC的外接圆，AB=AC，ABC=2BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是（a，0），点F坐标是（0，b）（1）请你写出圆心O的坐标（ ， ）；（用含a，b的代数式表示）（2）求线段BD的长.（1）（）（2）（3）圆与全等例5（2010.1怀柔期末）已知如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=,D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F,交AC于E.求ADF的正弦值. 或（4）证切线、圆与相似、三角函数例6（2010.1东城期末）如图，直线经过O上的点，并且，直线交O于点，连接（1）试判断直线与O的位置关系，并加以证明；（2）求证：；（3）若，O的半径为3，求的长 5二、按考点系统复习：（一）相似：1. 比例线段：了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；会运用比例的基本性质解决相关问题；了解黄金分割；（1）比例的性质，如：已知a4，b9，则a、b的比例中项是 6已知线段a4cm，b9cm，线段c是a、b的比例中项，则线段c的长为 6cm（2）求线段的比、面积的比，如：（2009年上海市)如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）ABCD答案：A如图，已知DEBC，CD和BE相交于O， SDOE：SCOB 4：9，则AE：EC为_ 答案：2：1（3）了解黄金分割，如：（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A4cmB6cmC8cmD10cm答案：C2. 相似多边形：知道相似多边形及其性质；会用相似多边形的性质解决简单的问题；认识现实生活中物体的相似；如：（1）（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2答案：C（2）（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2答案：A.3.位似：了解图形的位似关系；能利用位似变换将一个图形放大或缩小； (2009年滨州)在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为 答案：（4，6）或（-4，-6）4.相似三角形：了解两个三角形相似的概念；会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理与计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题。（1）（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F（1）求证：ACBDCE；（2）求证：EFAB（2）(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）答案：楼高AB约为20.0米（二）锐角三角函数：1. 勾股定理及其逆定理：已知直角三角形的两边长，会求第三边长；会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形；yxCBDOA（1）如图，在直角坐标系中，RtAOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA2，OB1将RtAOB绕点O按顺时针方向旋转90，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得CDO写出点A，C的坐标；求点A和点C之间的距离答案：点的坐标是，点的坐标是CAFDBC（2）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为_答案：（3）（2009年衡阳市）A、B、C分别表示三个村庄，AB1000米，BC600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）AAB中点BBC中点CAC中点DC的平分线与AB的交点答案：A2. 锐角三角函数：了解锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；知道30、45、60角的三角函数值；由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30、45、60角的三角函数式的值；能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题；（1）计算：31+(21)0tan30cos45答案：1-（2）在ABC中，C90，BC2，sinA，则AC的长是（ ） A B3 C D答案：A（3）在ABC中，C 90，tanA ，则sinB ( )A B C D答案：D3. 解直角三角形：知道解直角三角形的含义；会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题；能综合运用直角三角形的性质解决有关问题。（1）（2009南州）如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角PAB=45o，仰角PBA=30o，求汽球P的高度（精确到0.1米，=1.732）答案：65.9米（2）（2009娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50，测得条幅底端E的仰角为30. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin500.77，cos500.64， tan501.20，sin30=0.50，cos300.87，tan300.58）答案：约48米（3）（2010.1昌平期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，顶点为求这个二次函数的解析式；若点的坐标为，连接，过点作，垂足为点当点在直线上，且满足时，求点的坐标答案：二次函数的解析式为点的坐标为或（三）圆：1. 圆的有关概念：理解圆及其有关概念；会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题，如：一个点与圆上最近点的距离是4cm，最远点的距离是为9cm，则此圆的半径为（ ） A2.5cm或6.5cm B2.5cm C6.5cm D13cm或5cm答案：A2. 圆的性质：知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系；能运用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题；能运用圆的性质解决有关问题；CBOEDA（1）如图：=，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？答案：相等，证全等PAOBstOsOtOstOstABCD（2）（2009山西省太原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P从点O向点A运动，OP逐渐增大，当点P从点A向点B运动，OP不变，当点P从点B向点O运动，OP逐渐减小，故能大致地刻画与之间关系的是C3. 圆周角：了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对圆周角是直角；会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题； （1）（2009娄底）如图，AB是O的弦，ODAB于D交O于E，则下列说法错误的是( )A. AD=BD B.ACB=AOE C. AE=BE D.OD=DE答案：D（3）题图（2）如图，为O的直径，点在O上，则 ACDOB（2）题图（1）题图答案：40o(3)已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 .答案：4. 垂径定理：会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论；能用垂径定理解决有关问题；如： (2009年甘肃定西)如图，O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（）A5B4C3D2答案：A5. 弧长：会计算弧长；利用弧长解决有关问题；如：挂钟分针的长10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（ ）A. B. C. D. 答案：B6. 扇形：会计算扇形面积；能利用扇形面积解决有关问题；如：（2009深圳）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD/BC，AC平分，四边形ABCD的周长为10cm图中阴影部分的面积为（ ）ADCB A. B. C. D. 答案：B7. 圆锥的侧面积和全面积：会求圆锥的侧面积与全面积；能解决与圆锥有关的简单实际问题；（1）（2009德州）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）（A） 10cm （B）30cm （C）45cm （D）300cm 答案：A（2）（2009广州） 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65cm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），则sin的值为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：B8. 点与圆的位置关系：了解点与圆的位置关系；如：若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与O的位置关系是（ ） A点P在O外 B点P在O内 C点P在O上 D点P在O外或O上答案：B9. 直线与圆的位置关系：了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念；能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题；能解决与切线有关的问题；（1）如图，是O的直径，是弦，延长到点，使得（1）求证：是O的切线；（2）若，求的长答案：（2）题图（2）（2009义乌）如图，AB是O的的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦AD/OC,弦DFAB于点G。求证：点E是弧BD的中点；求证：CD是O的切线；若，O的半径为5，求DF的长。答案：（3）题图（3）（2009泸州）如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC，交AB的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线DE是O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值答案：10. 圆与圆的位置关系：了解圆与圆的位置关系；能利用圆与圆的位置关系解决简单问题。(1)(2009台州)大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ）A外离 B外切相交 D内含答案：A(2)（2009湖州）已知与外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距的长是（ ）A=1 B5 C D答案：B三、圆、相似、三角函数及其他的综合性问题：（一）坐标系下圆的运动变化与三角函数（或相似）的综合1.（2009浙江湖州）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 答案：（1）与轴相切（2）当或时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形2.（2009年江苏省）如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为秒（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PBOxyEPDABMC当与射线DE有公共点时，求的取值范围；当为等腰三角形时，求的值答案：（1）C（5-t，0），P（，）（2）（3）或或或（二）相似、三角函数与二次函数的综合：3.（2009年广西钦州）如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b_，c_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由答案：（1）（0，3），b，c3（2）当H在Q、B之间时，QH48t当H在O、Q之间时，QH8t4综合，得QH48t（3）存在的值，t11，t2，t34.（2008浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图