例谈平行四边形顶点坐标的一种万能求法(201404211).doc

例谈求平行四边形顶点坐标的一种万能解法内容提要：二次函数综合题中经常遇到在平面直角坐标系下，求平行四边形的顶点坐标，这类试题综合性强、难度大、知识覆盖面广，涉及分类讨论思想，大部分学生对解这类题目感到困难，有的学生只得一部分解。笔者经过做大量的题目，归纳总结出解这类题的一种万能解法，这种解法不会漏解，这种解法用到平行四边形顶点坐标公式及分类讨论思想。关健词：（1）由中点坐标公式推出平行四边形顶点坐标公式； （2）函数解析式；（3）分类讨论思想；（4）点与曲线方程的关系。二次函数综合题中，经常出现在平面直角坐标系背景下，求平行四边形的顶点坐标问题。这类试题综合性强,知识覆盖面广,涉及分类讨论思想,对分析问题、解决问题的能力要求较高,大部分学生对解答此类题目感到困难，有的学生也只得一部分解。纵观这些试题,大致可以分为两大类型:三定一动型和两定两动型。三定一动型,即已知三个顶点的坐标,在平面内求第四个顶点的坐标,使其构成平行四边形。两定两动型,即已知两个顶点坐标,另外两个待求的顶点坐标一般处于坐标轴上、二次函数对称轴上或函数的图象上。笔者通过做这类大量的练习，悟出解这类题的一种万能解法(这是笔者的观点)，而且这种解法不会漏解，也不用画图，但计算量稍大点。下面笔者就三道题，谈谈平行四边形顶点坐标的一种万能解法。这种解法主要用到下面几个知识点:知识点1: 已知点A（ , ），点B（ , ），则线段AB的中点坐标为: ( ,)知识点2: 在平行四边形中，因为平行四边形的对角线互相平分，所以由线段的中点坐标公式，推出平行四边形四个顶点坐标公式，在平面直角坐标系中，设平行四边形ABCD四个顶点的横坐标分别、，纵坐标分别为、，则有如下关系：；。知识点3: 已知两个定点，求两个动点，使这四个点构成平行四边形，则这两个定点可以是平行四边形的边，可以是平行四边形的对角线两种情况。 下面用三道例题谈谈这种解法。例1:如图，ABC的顶点分别为A（3，2）、B（0，1）、C（2，0），求第四个顶点D，使A、B、C、D构成平行四边形，则D点的坐标是_CBAxy0分析: 这道题是已知3个定点A,B,C,，求1个动点D，使A,B,C,D,4个点构成平行四边形，我们以AB为边和AB为对角线分两类即可。用平行四边形四个顶点坐标特点解这题的方法为:解: 设D（x, y）1) 当AB为边，且ABCD为平行四边形时，A与C，B与D分别为对角，根据平行四边形四个顶点坐标公式有:x+0=3+2=5 , y+1=2+0 则y=1 D ( 5, 1 )2)当AB为边，且ABDC为平行四边形时,A与D，B与C分别为对角，根据平行四边形四个顶点坐标公式有: x+3=0+2则x=1 ,y+2=1+0则y=1 D ( 1, 1 )3)当AB为对角线时， A与B，C与D分别为对角，则有: x+2=3+0 x=1 y+0=2+1 y=3 D ( 1, 3 )D ( 5, 1 )或( 1, 1 ) 或 ( 1, 3 )例2:（ 2013郑州模拟)如图，抛物线与直线AB交于点A(1，0)，B(4，)点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD（1）求抛物线的解析式;（2）设点D的横坐标为m，ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；（3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请求出相应的点Q的坐标 解：（1）由题意得解得 （2）设直线AB为：，则有解得 则：D（m，），C（m, ）, CD=()()=. =CD =（）= 当时，S有最大值. 当时，. 点C（）（3）用平行四边形四个顶点坐标特点解这题的方法为:解 点Q 在直线AB上， 设Q（ m, + ） , 1)当CD为边，CDQP为平行四边形时，C与Q, D与P为对角, 则有+= +又 C( 2 , ), D( 2, ), P（m, m - ）点P （m, m - ）在抛物线上 +2m+= m 解得:=5 =-2 Q（ 5， 3 ）或（-2，- ）2) )当CD为边，CDPQ为平行四边形时，C与P, D与Q为对角,则有+= +设Q（ m, + ） , C( 2 , ), D( 2, ) P ( m, ) 把P ( m, )点代入抛物线得: +2m+= 解得:=1 =2当=2时，点Q与点C重合，舍去；m=1 ,Q( 1,1)3) 当CD为对角线时，C与D，P与Q为对角，设Q（ m, + ）则有 : P（ 4-m, - ）把P（ 4-m, - ）抛物线得: - +2(4-m )+= -解得:=3 =2(舍去) m=3 , Q( 3,2)满足条件的点Q的坐标一共有4个，分别为（2，）,（1，1）,（3，2）,（5, 3）.例3: （2012山西省中考题改篇）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3。 点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得。 直线AC的解析式为y=3x+3。y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）。（2）用平行四边形四个顶点坐标特点解这题的方法为:分析lAC AC只能是边，不能是对角线解:设P（m,0）当AC为边，ACPQ为平行四边形时，A与P, C与Q为对角,则有: +=+ +=+A(1,0), P（m,0）,C(0,3) Q(m1,3)把Q(m1,3)代入抛物线y=x2+2x+3得:（+2(m1)+3=3解得: =2+ =2 m1=2+ 1=1+ m1=21=1Q(1+ 3 ) 或Q(1 , 3 )当AC为边，ACQP为平行四边形时，A与Q, C与P为对角,同理可得:Q( m+1,3 ), 把Q(m+1, 3)代入抛物线y=x2+2x+3得:（+2(m+1)+3=3 解得: =1 =1当=1时，A, P, Q三线共线。m=1 m+1=2