高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案.doc

高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案 学案45 空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直自主梳理 1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：OPOAta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取ABa，则可化为OP_或OP(1t)OAtOB.(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb，推论的表达式为MPxMAyMB或对空间任意一点O有，OP_或OPxOAyOBzOM，其中xyz_.2空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则_叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若a，b2，则称a与b_，记作ab.两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a) b_；交换律：a b_；分配律：a (bc)_.4空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则a b_.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(b0) _ _，_，_，ab _ _ (a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|a a_，cosa，ba b|a|b|_ .若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|_.自我检测 1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，则( )Ax1，y1 Bx12，y12Cx16，y32 Dx16，y322(2011 青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的向量是( )A12a12bc B.12a12bcC.12a12bc D12a12bc3(2011 广州调研)在平行六面体ABCDABCD中，已知BADAABAAD60，AB3，AD4，AA5，则|AC|_.4有下列4个命题：若pxayb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则pxayb；若MPxMAyMB，则P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，则MPxMAyMB.其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D45A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面)探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.变式迁移1 如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为_探究点二 利用向量法判断平行或垂直例2 (2011 合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，EBC90，点M、N分别在BD、AE上，且ANDM.(1)求证：MN平面EBC；(2)求MN长度的最小值变式迁移2 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM面BDF.探究点三 利用向量法解探索性问题例3 (2011 泉州月考)如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明FG平面BOE；(2)在AOB内是否存在一点M，使FM平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由 变式迁移3 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由 1向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC(其中x、y、zR)则P、A、B、C四点共面其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D42.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A既垂直于AC，又垂直于MNB垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直3(2011 绍兴月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A45 B60C90 D1204设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)确定的平面上，则a等于( )A16 B4 C2 D85在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为( )A.2 B211 C32 D42二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011 信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF(ABDC)，则_.7(2011 铜川模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：(A1D1A1A)AB； (BCBB1)D1C1；(ADAB)2DD1； (B1D1A1A)DD1.其中能够化简为向量BD1的是_(填所有正确的序号)8(2011 丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cosDP，AE33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_三、解答题(共38分)9(12分)如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG23，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1. 10(12分)(2009 福建)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 11(14分)(2011 汕头月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值学案45 空间向量及其运算自主梳理1(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数，使得ab OAtAB (4)OMxMAyMB 1 2.xaybzc 3.(1)AOB a，b 0a，b 互相垂直 |a|b|cosa，b a b a b|a|b|cosa，b(2)(a b) b a a ba c 4.(1)a1b1a2b2a3b3 (2)ab a1b1 a2b2 a3b3 (R) a b0 a1b1a2b2a3b30 (3)a21a22a23a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 a2a1 2 b2b1 2 c2c1 2自我检测1C ab，2x112y39，x16，y32.2A B1MB1A1A1AAMA1B1A1A12AB12ADac12(ab)12a12bc.3.97解析 ACABBCCCABADAA，|AC|2AB2AD2AA22AB AD2AD AA2AA AB324252234cos 60245cos 60235cos 6097，|AC|97.4B 正确中若a、b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立正确中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则MPxMAyMB不正确5共面解析 AB(3,4,5)，AC(1,2,2)，AD(9,14,16)，设ADxAByAC，即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)x2y3，从而A、B、C、D四点共面课堂活动区例1 解题导引 欲证ab，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a b0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法证明 如图所示.设OAa，OBb，OCc.OM12(OBOC)12(bc)，ON12(OAOC)12(ac)，PMPOOM12a12(bc)12(bca)，QNQOON12b12(ac)12(acb)PM QN14c(ab)c(ab)14c2(ab)214(|OC|2|BA|2)|AB|OC|，PM QN0.即PMQN，故PMQN.变式迁移1 23解析 设AB，AC，AD为空间一组基底，则AF12AB12AC，CE12CA12CD12CA12(ADAC)AC12AD.AF CE12AB12AC AC12AD12AB AC12AC214AB AD14AC AD14AB212AC218AB218AC212AC2.又|AF|CE|32|AC|，|AF| |CE|34|AC|2.cosAF，CEAF CE|AF|CE|12AC234|AC|223.异面直线AF与CE所成角的余弦值为23.例2 解题导引 如图所示，建立坐标系后，要证MN平行于平面EBC，只要证MN的横坐标为0即可(1)证明 如图所示，以BA、BC、BE为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，设ANAEDMDB，则MNMDDAANBDDAAE(1,1,0)(0，1,0)(1,0,1)(0，1，)0 1，10，0，且MN的横坐标为0.MN平行于平面yBz，即MN平面EBC.(2)解 由(1)知|MN| 1 222221 212212，当12时，MN取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、(0,0,1)NE22，22，1.又点A、M的坐标分别为(2，2，0)、22，22，1，AM22，22，1.NEAM且NE与AM不共线NEAM.又NE 平面BDE，AM 平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)得，AM22，22，1，D(2，0,0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，DF(0，2，1)，BF(2，0,1)AM DF0，AM BF0.AMDF，AMBF，即AMDF，AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标第(1)题证明FG与平面BOE的法向量n垂直，即FG n0即可第(2)题设出点M的坐标，利用MFn即可解出，然后检验解的合理性(1)证明 如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得G(0,4,0)因为OB(8,0,0)，OE(0，4,3)，所以平面BOE的法向量n(0,3,4)由FG(4,4，3)，得n FG0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)解 设点M的坐标为(x0，y0,0)，则FM(x04，y0，3)因为FM平面BOE，所以FMn，因此x04，y094，即点M的坐标是4，94，0.在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组x 0，y 0，xy 8.经检验，点M的坐标满足上述不等式组所以，在AOB内存在一点M，使PM平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，94.变式迁移3 解 (1)以点B为原点，以BA、BC、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，ABC为等腰直角三角形，ABBC22AC2a，A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，C1(0，2a,3a)，E0，22a，32a，A1(2a,0,3a)，BE0，22a，32a，A1C(2a，2a，3a)，cosBE，A1CBE A1C|BE|A1C|72a2112a13a7143143.直线BE与A1C所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F，使CF平面B1DF，并设AFAA1(0,0,3a)(0,0,3a) (0 1)，D为A1C1的中点，D22a，22a，3a，B1D22a，22a，3a(0,0,3a)22a，22a，0，B1FB1BBAAF(0,0，3a)(2a,0,0)(0,0,3a)(2a,0,3a(1)，CFCAAF(2a，2a,0)(0,0,3a)(2a，2a,3a)CF平面B1DF，CFB1D，CFB1F，CF B1D0CF B1F0，即3a0092920，解得23或13存在点F使CF面B1DF，且当13时，|AF|13|AA1|a，当23时，|AF|23|AA1|2a.课后练习区1C 均不正确2A 以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，AC(2,2,0)，MN(0,1,1)，OM(1，1,1)，OM AC0，OM MN0，OMAC，OMMN.3B 如图建立坐标系，设ABBCAA12，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)，EF(0，1,1)，BC1(2,0,2)，cosEF，BC122 812.EF，BC10，180EF与BC1所成的角是60.4A 由PC1PA2PB得：(2a1，a1,2)1(1，3,2)2(6，1，4)，1622a1312a1，21422 解得a16.5B 过A、B分别作AA1x轴，BB1x轴，垂足分别为A1和B1，则AA13，A1B15，BB12，ABAA1A1B1B1B，AB2AA12A1B12B1B22AA1 B1B325222232cos 6044.|AB|211.6.12解析 EFEAABBF，又EFEDDCCF，2EFABDC，EF12(ABDC)，12.7解析 (A1D1A1A)ABAD1ABBD1；(BCBB1)D1C1BC1D1C1BD1；(ADAB)2DD1BD2DD1BD1；(B1D1A1A)DD1B1D1(A1ADD1)B1D1BD1.8(1,1,1)解析 设DPy 0，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E1，1，y2，DP(0,0，y)，AE1，1，y2.cosDP，AEDP AE|DP|AE|12y2y 2y24y8y233.解得y2，E(1,1,1)9证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则BE(3,0,1)，BF(0,3,2)，BD1(3,3,3)(2分)所以BD1BEBF.故BD1、BE、BF共面又它们有公共点B，E、B、F、D1四点共面(6分)(2)设M(0,0，z)，则GM0，23，z.而BF(0,3,2)，由题设，得GM BF233z 20，得z1.(8分)M(0,0,1)，E(3,0,1)，ME(3,0,0)又BB1(0,0,3)，BC(0,3,0)，ME BB10，ME BC0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，ME平面BCC1B1.(12分)10.解 (1)如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E12，1，0.(2分)NE12，0，1，AM(1,0,1)cosNE，AMNE AM|NE| |AM|125221010，异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.(6分)(2)假设在线段AN上存在点S，使得E