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九年级（上）数学综合练习（二）答案一选择题（共12小题）1（2000兰州）关于x的方程（m2m2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）Am1Bm2Cm1或m2Dm1且m2考点：一元二次方程的定义菁优网版权所有分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）解答：解：根据一元二次方程的概念，得m2m20，即（m2）（m+1）0，m1且m2故选D点评：特别要注意一元二次方程中a0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点2（2000东城区）如果a是一元二次方程x23x+m=0的一个根，a是一元二次方程x2+3xm=0的一个根，那么a的值是（）A1或2B2或3C1或2D0或3考点：一元二次方程的解菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：已知a是一元二次方程x23x+m=0的一个根，则把x=a代入方程就得到：a23a+m=0；同理，可以得到a23am=0；这样就得到一个关于a，m的方程组，解这个方程组就得到a的值解答：解：将x=a代入方程x23x+m=0得：a23a+m=0；同理，将x=a代入方程x2+3xm=0得：a23am=0；则可得方程组：两式相加得到a23a=0，即a（a3）=0；a=0或3；故选D点评：本题主要考查了方程的解的定义；以及理解解方程组的基本思想：消元3（2010泰兴市模拟）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“”面上的数为（）A1B1或2C2D2或3考点：解一元二次方程-因式分解法；专题：正方体相对两个面上的文字菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“x2”与面“3x2”相对，面“”与面“x+1”相对；再由题意可列方程求x的值，从而求解解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x2”相对，面“”与面“x+1”相对因为相对两个面上的数相同，所以x2=3x2，解得x=1或x=2，又因为不相对两个面上的数值不相同，当x=2时，x+2=3x2=4，所以x只能为1，即=x+1=2故选C点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题4（2009株洲）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）Aa=cBa=bCb=cDa=b=c考点：根的判别式菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式=b24ac=0，又a+b+c=0，即b=ac，代入b24ac=0得（ac）24ac=0，化简即可得到a与c的关系解答：解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，=b24ac=0，又a+b+c=0，即b=ac，代入b24ac=0得（ac）24ac=0，即（a+c）24ac=a2+2ac+c24ac=a22ac+c2=（ac）2=0，a=c故选A点评：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根5（2004郑州）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x216x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B24或8C48D8考点：一元二次方程的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有专题：几何图形问题；分类讨论分析：本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S=底高求出面积解答：解：x216x+60=0（x6）（x10）=0，x=6或x=10当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形高h=2，S=82=8；当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形S=68=24S=24或8故选：B点评：本题考查了三角形的三边关系看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目6（2008遵义）如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2B16cm2C24cm2D9cm2考点：一元二次方程的应用菁优网版权所有专题：几何图形问题；压轴题分析：本题可设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10x）2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案解答：解：设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10x）2cm2，根据题意得x2+（10x）2=68整理得x210x+16=0解之得x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD的面积是16cm2故选B点评：本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍7（2005资阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0，其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有专题：压轴题分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：抛物线的开口方向向下，a0，抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c0，抛物线对称轴在y轴右侧，对称轴为x=0，又a0，b0，故abc0；由图象可知：对称轴为x=1，a0，b2a，b+2a0，由图象可知：当x=1时y0，a+b+c0；当x=1时y0，ab+c0、正确故选B点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定8（2008鄂州）小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：c0；abc0；ab+c0；2a3b=0；c4b0，你认为其中正确信息的个数有（）A2个B3个C4个D5个考点：二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有专题：压轴题分析：观察图象易得a0，所以b0，2a3b0，因此abc0，由此可以判定是正确的，而是错误的；当x=1，y=ab+c，由点（1，ab+c）在第二象限可以判定ab+c0是正确的；当x=2时，y=4a+2b+c=2（3b）+2b+c=c4b，由点（2，c4b）在第一象限可以判定c4b0是正确的解答：解：抛物线开口方向向上，a0，与y轴交点在x轴的下方，c0，a0，b0，2a3b0，abc0，是正确的，对称轴x=，3b=2a，2a+3b=0，是错误的；当x=1，y=ab+c，而点（1，ab+c）在第二象限，ab+c0是正确的；当x=2时，y=4a+2b+c=2（3b）+2b+c=c4b，而点（2，c4b）在第一象限，c4b0故选C点评：本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质9（2007潍坊）对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2mx+m2（m为实数）的零点的个数是（）A1B2C0D不能确定考点：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2mx+m2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2mx+m2与x轴交点的个数；根据与0的关系即可作出判断解答：解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点=（m）241（m2）=m24m+8=（m2）2+4（m2）2一定为非负数（m2）2+40，该抛物线与x轴有2个不同的交点，二次函数y=x2mx+m2（m为实数）的零点的个数是2故选B点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数10（2010大田县）抛物线y=kx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k0考点：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有专题：压轴题分析：抛物线y=kx27x7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx27x7=0有解，此时0解答：解：抛物线y=kx27x7的图象和x轴有交点，即y=0时方程kx27x7=0有实数根，即=b24ac0，即49+28k0，解得k，且k0故选B点评：考查抛物线和一元二次方程的关系11（2010丽水）如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）Ay=By=Cy=Dy=考点：根据实际问题列二次函数关系式菁优网版权所有专题：压轴题分析：四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将ABC绕A点逆时针旋转90到ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积解答：解：作AEAC，DEAE，两线交于E点，作DFAC垂足为F点，BAD=CAE=90，即BAC+CAD=CAD+DAEBAC=DAE又AB=AD，ACB=E=90ABCADE（AAS）BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=ACAF=ACDE=3a，在RtCDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=（DE+AC）DF=（a+4a）4a=10a2=x2故选：C点评：本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用12（2002济南）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba2Ca1Da2考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了解答：解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故a2故选D点评：此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合二填空题（共6小题）13（2011兰州）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x3=4，x4=1考点：一元二次方程的解菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解解答：解：关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2）+m2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=1，解得x=4或x=1故答案为：x3=4，x4=1点评：此题主要考查了方程解的定义注意由两个方程的特点进行简便计算14（2002绍兴）若一个三角形的三边长均满足方程x26x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：求ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可解答：解：解方程x26x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4244+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时42=24+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故ABC的周长是6或10或12点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去15（2006泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16考点：一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质菁优网版权所有专题：几何图形问题；压轴题分析：边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长解答：解：解方程x27x+12=0得：x=3或4对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；菱形的边长为4菱形ABCD的周长为44=16点评：由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可16（2006大连）如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围2x1考点：二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有专题：压轴题分析：观察图象可知，y1与y2的两交点横坐标为2，1；当y2y1时，就是两图象交点之间的部分，可求此时x的取值范围解答：解：y1与y2的两交点横坐标为2，1，当y2y1时，y2的图象应在y1的图象上面，即两图象交点之间的部分，此时x的取值范围是2x1点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势17（2009包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方下列结论：4a2b+c=0；ab0；2a+c0；2ab+10其中正确结论的个数是4个考点：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有专题：压轴题分析：本题依据二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解解答：解：根据题意画大致图象如图所示，由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为（2，0）得：a（2）2+b（2 ）+c=0，即4a2b+c=0，所以正确；由图象开口向下知a0，由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1x12，则该抛物线的对称轴为，即1，由a0，两边都乘以a得：ba，a0，对称轴x=0，b0，ab0故正确；由一元二次方程根与系数的关系知，结合a0得2a+c0，所以结论正确，由4a2b+c=0得，而0c2，12ab02ab+10，所以结论正确故填正确结论的个数是4个点评：规律总结：4a2b+c=0是否成立，也就是判断当x=2时，y=ax2+bx+c的函数值是否为0；判断y=ax2+bx+c中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a0，开口向下a0；判断a、b的小关系时，可利用对称轴的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系的值的范围来判断；2ab+1的值情况可用4a2b+c=0来判断18（2009包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2考点：二次函数的应用；二次函数的最值菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=周长周长”列出面积的函数关系式并求得最小值解答：解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20x），则边长分别为x，（20x），则S=x2+（20x）（20x）=（x10）2+12.5，由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm2故填：12.5点评：本题考查了同学们列函数关系式以及求函数最值的能力三解答题（共6小题）19（2013重庆模拟）先化简，再求值：，其中a是方程的解考点：一元二次方程的解；分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据题意先解方程求出a的值，然后把代数式化简，再把a的值代入即可解答：解：a是方程的解，a2a=0，解方程得：a=，=a2=a2=a2=aa2，当a=时，原式=（1）=；当a=时，原式=（1）=，代数式的值为点评：此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值20（2010东莞）已知一元二次方程x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）一元二次方程x22x+m=0有两个实数根，0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m解答：解：（1）方程x22x+m=0有两个实数根，=（2）24m0，解得m1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组，解得，m=x1x2=点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握21（2010南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元（1）填表：（不需化简）时间 第一个月第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？考点：一元二次方程的应用菁优网版权所有专题：销售问题；压轴题分析：（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍解答：解：（1）80x，200+10x，800200（200+10x）时间 第一个月第二个月 清仓时 单价（元） 80 80x 40 销售量（件） 200 200+10x 800200（200+10x）（2）根据题意，得80200+（80x）（200+10x）+40800200（200+10x）50800=9000整理得10x2200x+1000=0，即x220x+100=0，解得x1=x2=10当x=10时，80x=7050答：第二个月的单价应是70元点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价进价22（2009黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a2（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）若（2）中二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由考点：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）由判别式=b24ac可证明a为任一实数（2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解（3）利用第2小题中两个交点的距离为来进行计算解答：解：（1）因为=a24（a2）=（a2）2+40，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点（2）设x1、x2是y=x2+ax+a2=0的两个根，则x1+x2=a，x1x2=a2，因两交点的距离是，所以即：（x1x2）2=13变形为：（x1+x2）24x1x2=13即（a）24（a2）=13整理得：（a5）（a+1）=0解方程得：a=5或1又a0a=1此二次函数的解析式为y=x2x3（3）设点P的坐标为（x0，y0），函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，AB=SPAB=AB|y0|=即：|y0|=3，则y0=3当y0=3时，x02x03=3，即（x03）（x0+2）=0解此方程得：x0=2或3当y0=3时，x02x03=3，即x0（x01）=0解此方程得：x0=0或1（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（2，3），（3，3），（0，3）或（1，3）点评：要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1x2|，并熟练运用23（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x22x3（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x22x3），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC=PO；连接PP，则PECO于E，C（0，3），CO=3，又OE=EC，OE=EC=y=；x22x3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x22x3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：直线BC的解析式为y=x3，则Q点的坐标为（x，x3）；当0=x22x3，解得：x1=1，x2=3，AO=1，AB=4，S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=ABOC+QPBF+QPOF=当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解24. （2014仙桃）已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；一次函数的应用；全等三角形的应用；等腰三角形的性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式（2）BQ