高考数学（理科）一轮复习函数的单调性与最值学案含答案.doc

高考数学（理科）一轮复习函数的单调性与最值学案含答案 学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值自主梳理 1单调性(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)(f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是_(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b，那么(x1x2)(f(x1)f(x2) 0 f x1 f x2 x1x2 0 f(x)在a，b上是_；(x1x2)(f(x1)f(x2) 0 f x1 f x2 x1x2 0 f(x)在a，b上是_(3)单调区间：如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的_(4)函数yxax(a 0)在 (，a)，(a，)上是单调_；在(a，0)，(0，a)上是单调_；函数yxax(a 0)在_上单调递增2最值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的_自我检测 1(2011 杭州模拟)若函数yax与ybx在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是 ( )A增函数B减函数C先增后减D先减后增2设f(x)是(，)上的增函数，a为实数，则有 ( )Af(a) f(2a)Bf(a2) f(a)Cf(a2a) f(a)Df(a21) f(a)3下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )Ay12xByx1Cyx22xDy54(2011 合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1 x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是 ( )Af(x1) f(x2)Bf(x1) f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能确定5当x0,5时，函数f(x)3x24xc的值域为 ( )Ac,55cB43c，cC43c,55cDc,20c探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f(x)xaxb(a b 0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性变式迁移1 已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x) 0，且f(5)1，设F(x)f(x)1f x ，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011 烟台模拟)已知函数f(x)x22xax，x1，)(1)当a12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x) 0恒成立，试求实数a的取值范围变式迁移2 已知函数f(x)xaxa2在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011 厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x 0时，f(x) 0，f(1)23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值 变式迁移3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x 1时，f(x) 0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|) 2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值【答题模板】解 f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1)当a 0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)当0a 1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)当1 a2时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.9分(4)当a 2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，(1)当a 0时，f(x)min1，f(x)max34a；(2)当0a 1时，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)当1 a2时，f(x)min1a2，f(x)max1；(4)当a 2时，f(x)min34a，f(x)max1.12分【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的故只需确定对称轴与区间的关系由于对称轴是xa，而a的取值不定，从而导致了分类讨论(2)不是应该分a 0,0a2，a 2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间0,2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)1函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质2若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)C具有相同的单调性(2)f(x)与af(x)，当a 0时，具有相同的单调性，当a 0时，具有相反的单调性(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1f x 具有相反的单调性(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)g(x)是增(减)函数(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x) g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1(2011 泉州模拟)“a1”是“函数f(x)x22ax3在区间1，)上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2(2009 天津)已知函数f(x)x24x， x0，4xx2， x 0，若f(2a2) f(a)，则实数a的取值范围是 ( )A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)3(2009 宁夏，海南)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为 ( )A4B5C6D74(2011 丹东月考)若f(x)x22ax与g(x)ax1在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是 ( )A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,15(2011 葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x2 0，x2x3 0，x3x1 0，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ( )A一定大于0B一定小于0C等于0D正负都有可能题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6函数y(x3)|x|的递增区间是_7设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是_(填序号)yf(x)2是增函数；y1f x 是减函数；yf(x)是减函数；y|f(x)|是增函数8设0 x 1，则函数y1x11x的最小值是_三、解答题(共38分)9(12分)(2011 湖州模拟)已知函数f(x)a1|x|.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x) 2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围10(12分)已知f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围11(14分)(2011 鞍山模拟)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若a，b1,1，ab0时，有f a f b ab 0成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x12) f(1x1)；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围答案 自主梳理1(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (，0)，(0，) 2.最大(小)值自我检测1B 由已知得a 0，b 0.所以二次函数对称轴为直线xb2a 0，且图象开口向下2D a21 a，f(x)在R上单调递增，f(a21) f(a)3C 常数函数不具有单调性4D 在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小5C f(x)3(x23)243c，x0,5，当x23时，f(x)min43c；当x5时，f(x)max55c.课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解可导函数则可以利用导数求解有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解解 在定义域内任取x1，x2，且使x1 x2，则xx2x1 0，yf(x2)f(x1)x2ax2bx1ax1b x2a x1b x2b x1a x1b x2b ba x2x1 x1b x2b .a b 0，ba 0，(ba)(x2x1) 0，又x(，b)(b，)，只有当x1 x2 b，或b x1 x2时，函数才单调当x1 x2 b，或b x1 x2时，f(x2)f(x1) 0，即y 0.yf(x)在(，b)上是单调减函数，在(b，)上也是单调减函数变式迁移1 解 在R上任取x1、x2，设x1 x2，f(x2) f(x1)，F(x2)F(x1)f(x2)1f x2 f(x1)1f x1 f(x2)f(x1)11f x1 f x2 ，f(x)是R上的增函数，且f(5)1，当x 5时，0 f(x) 1，而当x 5时f(x) 1；若x1 x2 5，则0 f(x1) f(x2) 1，0 f(x1)f(x2) 1，11f x1 f x2 0，F(x2) F(x1)；若x2 x1 5，则f(x2) f(x1) 1，f(x1) f(x2) 1，11f x1 f x2 0，F(x2) F(x1)综上，F(x)在(，5)为减函数，在(5，)为增函数例2 解 (1)当a12时，f(x)x12x2，设x1，x21，)且x1 x2，f(x1)f(x2)x112x1x212x2(x1x2)(112x1x2)x1 x2，x1x2 0，又1 x1 x2，112x1x2 0，f(x1)f(x2) 0，f(x1) f(x2)f(x)在区间1，)上为增函数，f(x)在区间1，)上的最小值为f(1)72.(2)方法一 在区间1，)上，f(x)x22xax 0恒成立，等价于x22xa 0恒成立设yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1递增，当x1时，ymin3a，于是当且仅当ymin3a 0时，函数f(x)恒成立，故a 3.方法二 f(x)xax2，x1，)，当a0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a 0时，函数f(x)递增；当x1时，f(x)min3a，于是当且仅当f(x)min3a 0时，函数f(x) 0恒成立，故a 3.方法三 在区间1，)上f(x)x22xax 0恒成立等价于x22xa 0恒成立即a x22x恒成立又x1，)，a x22x恒成立，a应大于函数ux22x，x1，)的最大值a x22x(x1)21.当x1时，u取得最大值3，a 3.变式迁移2 解 设1 x1 x2.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1ax1a2(x2ax2a2)(x1x2)(1ax1x2) 0.又x1x2 0，1ax1x2 0，即a x1x2恒成立1 x1 x2，x1x2 1，x1x2 1.a1，a的取值范围是1，)例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证(2)用函数的单调性求最值(1)证明 设x1 x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x 0时，f(x) 0.而x1x2 0，f(x1x2) 0，即f(x1) f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解 f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)又f(3)f(21)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.变式迁移3 解 (1)令x1x2 0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1 x2，则x1x2 1，由于当x 1时，f(x) 0，f(x1x2) 0，即f(x1)f(x2) 0，f(x1) f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)由f(x1x2)f(x1)f(x2)得f(93)f(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.由于函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，当x 0时，由f(|x|) 2，得f(x) f(9)，x 9；当x 0时，由f(|x|) 2，得f(x) f(9)，x 9，故x 9，不等式的解集为x|x 9或x 9课后练习区1A f(x)对称轴xa，当a1时f(x)在1，)上单调递增“a1”为f(x)在1，)上递增的充分不必要条件2C 由题知f(x)在R上是增函数，由题得2a2 a，解得2 a 1.3C 由题意知函数f(x)是三个函数y12x，y2x2，y310x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点4D f(x)在a，)上是减函数，对于g(x)，只有当a 0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0 a1.5A f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x2 0，x2x3 0，x3x1 0，x1 x2，x2 x3，x3 x1.又f(x1) f(x2)f(x2)，f(x2) f(x3)f(x3)，f(x3) f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3) f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3) 0.60，32解析 y x3 x x0 x3 x x 0 .画图象如图所示：可知递增区间为0，327解析 举例：设f(x)x，易知均不正确84解析 y1x11x1x 1x ，当0 x 1时，x(1x)(x12)21414.y4.9(1)证明 当x(0，)时，f(x)a1x，设0 x1 x2，则x1x2 0，x2x1 0.f(x1)f(x2)(a1x1)(a1x2)1x21x1x1x2x1x2 0.(5分)f(x1) f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函数(6分)(2)解 由题意a1x 2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x1x，则a h(x)在(1，)上恒成立(8分)h(x)21x2，x(1，)，21x2 0，h(x