第6章统计量及其抽样分布.ppt

第6章统计量及其抽样分布 6 1统计量6 2关于分布的几个概念6 3由正态分布导出的几个重要分布6 4样本均值的分布与中心极限定理6 5样本比例的抽样分布6 6两个样本平均值之差的分布6 7关于样本方差的分布 学习目标 了解统计量及其分布的几个概念了解由正态分布导出的几个重要分布理解样本均值的分布与中心极限定理掌握单样本比例和样本方差的抽样分布 6 1统计量 6 1 1统计量的概念6 1 2常用统计量6 1 3次序统计量6 1 4充分统计量 统计量 statistic 设X1 X2 Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本 如果由此样本构造一个函数T X1 X2 Xn 不依赖于任何未知参数 则称函数T X1 X2 Xn 是一个统计量样本均值 样本比例 样本方差等都是统计量统计量是样本的一个函数统计量是统计推断的基础 次序统计量 一组样本观测值X1 X2 Xn由小到大的排序X 1 X 2 X i X n 后 称X 1 X 2 X n 为次序统计量中位数 分位数 四分位数等都是次序统计量 6 2关于分布的几个概念 6 2 1抽样分布6 2 2渐进分布6 2 3随机模拟获得的近似分布 总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 总体分布 populationdistribution 一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时 样本分布逐渐接近总体的分布 样本分布 sampledistribution 样本统计量的概率分布 是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时 由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布样本统计量是随机变量样本均值 样本比例 样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息 是进行推断的理论基础 也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 samplingdistribution 抽样分布的形成过程 samplingdistribution 6 3由正态分布导出的几个重要分布 6 3 1 2分布6 3 2t分布6 3 3F分布 2分布 由阿贝 Abbe 于1863年首先给出 后来由海尔墨特 Hermert 和卡 皮尔逊 K Pearson 分别于1875年和1900年推导出来设 则令 则Y服从自由度为1的 2分布 即当总体 从中抽取容量为n的样本 则 2分布 2distribution 分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小 通常为不对称的正偏分布 但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为 E 2 n 方差为 D 2 2n n为自由度 可加性 若U和V为两个独立的 2分布随机变量 U 2 n1 V 2 n2 则U V这一随机变量服从自由度为n1 n2的 2分布 2分布 性质和特点 c2分布 图示 t分布 t分布 高塞特 W S Gosset 于1908年在一篇以 Student 学生 为笔名的论文中首次提出t分布是类似正态分布的一种对称分布 它通常要比正态分布平坦和分散一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数 随着自由度的增大 分布也逐渐趋于正态分布 t分布图示 F分布 由统计学家费希尔 R A Fisher 提出的 以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服从自由度为n1的 2分布 即U 2 n1 V为服从自由度为n2的 2分布 即V 2 n2 且U和V相互独立 则称F为服从自由度n1和n2的F分布 记为 F分布 Fdistribution F分布 图示 不同自由度的F分布 6 4样本均值的分布与中心极限定理 在重复选取容量为n的样本时 由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值 的理论基础 样本均值的抽样分布 正态分布 X N 2 其概率密度为 正态分布的均值和标准差均值E X 方差D X 2 x 2 正态曲线 正态曲线的主要特性关于x 对称的钟形曲线参数 决定正态曲线的中心位置参数 决定正态曲线的陡峭或扁平程度以X轴为渐近线 即当x 时 f x 0 标准正态分布 0 1的正态分布 记为N 0 1 其概率密度 x 分布函数 x X N 2 则 Z N 0 1 标准化 标准正态分布 若Z N 0 1 则有 P Z a 2 a 1 a 1 a 例3 14 某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布 对某批产品测试的结果 平均使用寿命为1050小时 标准差为200小时 试求 a 使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例 b 使用寿命在850 1450小时的灯管占多大比例 c 以均值为中心 95 的灯管的使用寿命在什么范围内 X 使用寿命 X N 1050 2002 2 1 0 97725 0 15865 0 8186 95 的灯管寿命在均值左右392 即658 1442 小时 1 2 75 1 0 99702 0 00298 3 原则 X 3 的概率很小 因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在 3 3 区间内广泛应用 产品质量控制 判断异常情况等 正态分布最常用 最重要 大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布例如 测量误差 同龄人的身高 体重 一批棉纱的抗拉强度 一种设备的使用寿命 农作物的产量 特点是 中间多两头少 正态分布最常用 最重要 由于正态分布特有的数学性质 正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位正态分布是许多概率分布的极限分布统计推断中许多重要的分布 如 2分布 t分布 F分布 都是在正态分布的基础上推导出来的 样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样 样本均值的抽样分布 数学期望与方差 样本均值的抽样分布 例题分析 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数N 4 4个个体分别为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 总体的均值 方差及分布如下 均值和方差 样本均值的抽样分布 例题分析 现从总体中抽取n 2的简单随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果为 样本均值的抽样分布 例题分析 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 样本均值的分布与总体分布的比较 例题分析 2 5 2 1 25 总体分布 样本均值的抽样分布 数学期望与方差 比较及结论 1 样本均值的均值 数学期望 等于总体均值2 样本均值的方差等于总体方差的1 n 中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 也称列维一林德伯格定理 设X1 X2 是独立同分布的随机变量序列 且存在有限的 和方差 2 i 1 2 当n 时 或 就趋于正态分布 上述定理表明独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布 其n项总和的分布趋近于正态分布 可得出如下结论 不论总体服从何种分布 只要其数学期望和方差存在 对这一总体进行重复抽样时 当样本量n充分大 就趋于正态分布 该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础 为什么很多随机现象呈正态分布 自然界和社会经济现象中 这类现象很普遍 许许多多的随机变量都可以视为众多独立随机变量之总和 例如 一个城市的居民生活用电总量是大量相互独立居民户用电量的总和 炮弹射击的误差 也可以看作是很多因素引起的小误差之总和 为什么很多随机现象呈正态分布 由中心极限定理可知 即使各单个随机变量的分布并不明确 但只要它们存在有限均值和方差 这个众多独立的随机变量之总和的分布就趋近于正态分布 正态分布也称为常态分布 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N 2 时 来自该总体的所有容量为n的样本的均值 x也服从正态分布 x的数学期望为 方差为 2 n 即 x N 2 n 中心极限定理 centrallimittheorem 从均值为 方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 中心极限定理 centrallimittheorem x的分布趋于正态分布的过程 抽样分布与总体分布的关系 总体分布 正态分布 非正态分布 大样本 小样本 正态分布 正态分布 非正态分布 6 5样本比例的抽样分布 总体 或样本 中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品 或不合格品 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为 比例 proportion 在重复选取容量为n的样本时 由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时 样本比例的抽样分布可用正态分布近似推断总体比例 的理论基础 样本比例的抽样分布 样本比率的抽样分布 5 比率问题适用于研究分类或定型的变量6 对于一个具体的样本比率p 若np 5和n 1 p 5 就可以认为样本容量足够大 样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样 样本比例的抽样分布 数学期望与方差 6 6两个样本均值之差的抽样分布 两个总体都为正态分布 即 两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布 6 7关于样本方差的分布 6 7 1样本方差的分布6 7 2两个样本方差比的分布 样本方差的分布 在重复选取容量为n的样本时 由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本 则比值的抽样分布服