高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案.doc

高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案 第四章 三角函数与三角恒等变换学案17 任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义自主梳理 1任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的_，射线的端点O叫做角的_，旋转终止位置的射线OB叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个_角(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是_角(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为_；终边在y轴上的角表示为_；终边落在坐标轴上的角可表示为_(3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把长度等于_长的弧所对的_叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写(5)度与弧度的换算关系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧长公式与扇形面积公式l_，即弧长等于_S扇_.2三角函数的定义任意角的三角函数定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_叫做的正弦，记作sin ，即sin y；_叫做的余弦，记作cos ，即cos x；_叫做的正切，记作tan ，即tan yx (x0)(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示_，_和_自我检测 1“6”是“cos 212”的 （ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2.(2011 济宁模拟)点P(tan 2 009，cos 2 009)位于 （ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3(2010 山东青岛高三教学质量检测)已知sin 0且tan 0，则角是 （ ）A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4已知角的终边上一点的坐标为sin 23，cos 23，则角的最小正值为 ( )A.56 B.23 C.53 D.116探究点一 角的概念例1 (1)如果角是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线y3x上的角的集合；(3)若168k 360 (kZ)，求在0，360)内终边与3角的终边相同的角变式迁移1 若是第二象限的角，试分别确定2，2的终边所在位置探究点二 弧长与扇形面积例2 (2011 金华模拟)已知一个扇形的圆心角是，0 2，其所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C 0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2 (1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三 三角函数的定义例3 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值变式迁移3 已知角的终边经过点P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动23弧长到达Q，则Q的坐标为 （ ）A(12，32) B(32，12)C(12，32) D(32，12)2若0 x ，则使sin x 12和cos x 12同时成立的x的取值范围是 ( )A.3 x 2 B.3 x 56C.6 x 56 D.3 x 233已知为第三象限的角，则2所在的象限是 ( )A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限4若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于 ( )Asin 12 B.6C.1sin 12 D2sin 125已知2，2且sin cos a，其中a(0,1)，则关于tan 的值，以下四个答案中，可能正确的是 ( )A3 B3或13C13 D3或13题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，则的取值范围是_7(2011 龙岩模拟)已知点Psin 34，cos 34落在角的终边上，且0,2)，则的值为_8阅读下列命题：若点P(a,2a) (a0)为角终边上一点，则sin 255；同时满足sin 12，cos 32的角有且只有一个；设tan 12且 32，则sin 55；设cos(sin ) tan(cos ) 0 (为象限角)，则在第一象限其中正确命题为_(将正确命题的序号填在横线上)三、解答题(共38分)9(12分)已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形OAB的面积10(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin 32；(2)cos 12.11(14分)(2011 舟山月考)已知角终边经过点P(x，2) (x0)，且cos 36x.求sin 1tan 的值答案 自主梳理1始边 顶点 终边 逆 顺 零 (1)第几象限(2)|k，kZ |k2，kZ |k2，kZ (3)|k 360，kZ |2k，kZ (4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2 180 180 (6)| r 弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 12lr 12|r2 2.y x yx (2)的正弦线 的余弦线 的正切线自我检测1A 2.D 3.C 4.D课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，角与终边关于x轴对称；角与终边关于y轴对称；角与终边关于原点对称(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一角与2的整数倍，然后判断角的象限(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角解 (1)2k 322k (kZ)，322k 2k(kZ)，即22k 2k (kZ)角终边在第二象限又由各边都加上，得322k 22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)内终边在直线y3x上的角是3，终边在直线y3x上的角的集合为|3k，kZ.(3)168k 360 (kZ)，356k 120 (kZ)056k 120 360，k0,1,2时，30，360)故在0，360)内终边与3角的终边相同的角是56，176，296.变式迁移1 解 是第二象限的角，k 36090 k 360180 (kZ)(1)2k 360180 2 2k 360360 (kZ)，2的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上(2)k 18045 2 k 18090 (kZ)，当k2n (nZ)时，n 36045 2 n 36090；当k2n1 (nZ)时，n 360225 2 n 360270.2是第一或第三象限的角2的终边在第一或第三象限例2 解题导引 本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解解 (1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，当603，R10 cm时，可知lR103 cm.而SS扇SOAB12lR12R2sin 312103101210032503253 cm2.(2)已知2RlC，即2RRC，S扇12R212 R R14 R 2R14 R2R2214 C22C216.当且仅当R2R，即2时，等号成立，即当为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.变式迁移2 解 设扇形半径为R，圆心角为，所对的弧长为l.(1)依题意，得12R24，R2R10，221780.8或12.8 2，舍去，12.(2)扇形的周长为40，即R2R40，S12lR12R214R 2R14R2R22100.当且仅当R2R，即R10，2时扇形面积取得最大值，最大值为100.例3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解解 角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t) (t0)，则x4t，y3t，rx2y2 4t 2 3t 25|t|，当t 0时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34；当t 0时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34.综上可知，t 0时，sin 35，cos 45，tan 34；t 0时，sin 35，cos 45，tan 34.变式迁移3 解 r 4a 2 3a 25|a|.若a 0，则r5a，角在第二象限，sin yr3a5a35，cos xr4a5a45，tan yx3a4a34.若a 0，则r5a，角在第四象限，sin yr3a5a35，cos xr4a5a45，tan yx3a4a34.课后练习区1A 2.B 3.D 4.C 5.C6.4，2，54解析 由已知得sin cos ，tan 0，42k 22k或2k 542k，kZ.02，当k0时，4 2或 54.7.74解析 由三角函数的定义，tan yxcos 34sin 341.又sin 34 0，cos 34 0，P在第四象限，74.8解析 中，当在第三象限时，sin 255，故错中，同时满足sin 12，cos 32的角为2k6 (kZ)，不只有一个，故错正确可能在第一象限或第四象限，故错综上选.9解 (1)12023，r6，AB的弧长为lr2364.(4分)(2)S扇形OAB12lr124612，(7分)SABO12r2 sin 2312623293，(10分)S弓形OABS扇形OABSABO1293.(12分)10解 (1)作直线y32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的集合为|2k32k23，kZ.(6分)(2)作直线x12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分