高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案.doc

高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案 学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a 0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型 自主梳理 1对数的定义如果_，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a 0且a1) _； _； _； _.(2)对数的重要公式换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)； ，推广 _.(3)对数的运算法则如果a 0且a1，M 0，N 0，那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR)； nmlogaM.3对数函数的图象与性质a 10 a 1图象 性质(1)定义域：_(2)值域：_(3)过点_，即x_时，y_(4)当x 1时，_当0 x 1时，_(5)当x 1时，_当0 x 1时，_(6)是(0，)上的_函数(7)是(0，)上的_函数4.反函数指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称自我检测 1(2010 四川)2log510log50.25的值为( )A0B1C2D42(2010 辽宁)设2a5bm，且1a1b2，则m的值为( )A.10B10C20D1003(2009 辽宁)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)12x；当x 4时，f(x)f(x1)则f(2log23)的值为( )A.124B.112C.18D.384(2010 安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上递增，f(13)0，则满足 0的x的取值范围是( )A(0，)B(0，12)(2，)C(0，18)(12，2)D(0，12)5(2011 台州期末)已知0 a b 1 c，mlogac，nlogbc，则m与n的大小关系是_.探究点一 对数式的化简与求值例1 计算：(1) ；(2)12lg324943lg8lg245；(3)已知2lgxy2lg xlg y，求 .变式迁移1 计算：(1)log2748log21212log2421；(2)(lg 2)2lg 2 lg 50lg 25.探究点二 含对数式的大小比较例2 (1)比较下列各组数的大小log323与log565；log1.10.7与log1.20.7.(2)已知log12b log12a log12c，比较2b,2a,2c的大小关系变式迁移2 (1)(2009 全国)设alog3，blog23，clog32，则( )Aa b cBa c bCb a cDb c a(2)设a，b，c均为正数，且2a ，(12)b ，(12)clog2c，则( )Aa b cBc b a0Cc a bDb a c探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f(x)logax(a 0且a1)，如果对于任意的x13，2都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围变式迁移3 (2010 全国)已知函数f(x)|lg x|，若0 a b，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是( )A(22，)B22，)C(3，)D3，)分类讨论思想的应用例 (12分)已知函数f(x)loga(1ax)(a 0，a1)(1)解关于x的不等式：loga(1ax) f(1)；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.【答题模板】(1)解 f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a 0.0 a 1.不等式可化为loga(1ax) loga(1a)1ax 0，1ax 1a.，即ax 1，ax a.0 x 1.不等式的解集为(0,1)4分(2)证明 设x1 x2，则f(x2)f(x1) .1ax 0，ax 1.a 1时，f(x)的定义域为(，0)；6分0 a 1时，f(x)的定义域为(0，)当0 a 1时，x2 x1 0， . 1. 0.f(x2) f(x1)，即y2 y1.同理可证，当a 1时，也有y2 y1.10分综上：y2 y1，即y2y1 0.kABy2y1x2x1 0.直线AB的斜率小于0.12分【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a 1或0 a 1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性1求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”2用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a 0且a1.若a 1，则logaf(x) logag(x) f(x) g(x) 0.若0 a 1，则logaf(x) logag(x) 0 f(x) g(x)(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0 c d 1 a b.3常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如logaf(x)logag(x)(a 0且a1)等价于f(x)g(x)，但要注意验根对于logaf(x) logag(x)等价于0 a 1时， a 1时， (2)形如F(logax)0、F(logax) 0或F(logax) 0，一般采用换元法求解 (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010 北京市丰台区高三一调)设My|y(12)x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，则集合MN等于 ( )A(，0)1，)B0，)C(，1D(，0)(0,1)2(2010 全国)设alog32，bln 2，c512，则( )Aa b cBb c aCc a bDc b a3(2010 天津)若函数f(x)log2x，x 0，log12(x)，x 0，若f(a) f(a)，则实数a的取值范围是( )A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)4(2011 济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有 ( )Af(13) f(2) f(12)Bf(12) f(2) f(13)Cf(12) f(13) f(2)Df(2) f(12) f(13)5(2011 青岛模拟)已知函数f(x)axlogax(a 0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为( )A.12B.14C2D4题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)62lg 523lg 8lg 5 lg 20lg22_.7(2011 湖南师大附中检测)已知函数f(x)lgaxa2x在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围是_8已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)_.三、解答题(共38分)9(12分)已知f(x)2log3x，x1,9，求yf(x)2f(x2)的最大值及y取最大值时x的值10(12分)(2011 北京东城1月检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a 0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a 1时，求使f(x) 0的x的解集11(14分)(2011 郑州模拟)已知函数f(x)lg(axbx)(a 1 b 0)(1)求yf(x)的定义域；(2)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值答案 自主梳理1axN(a 0，且a1) xlogaN a N 2.(1)N 0 N 1 (2)logaNlogab logad (3)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM 3.(1)(0，) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y 0 y 0 (5)y 0 y 0(6)增 (7)减 4.ylogax yx自我检测1C 2.A3A 因为3 2log23 4，故f(2log23)f(2log231)f(3log23)又3log23 4，故f(3log23)123log23123 13124.4B 由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|log18x|) f(13)，f(x)在0，)上递增，于是|log18x| 13，解得x的取值范围是(0，12)(2，)5m n解析 m 0，n 0，mnlogac logcblogab logaa1，m n.课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化解 (1)方法一 利用对数定义求值：设 x，则(23)x23123(23)1，x1.方法二 利用对数的运算性质求解： 1.(2)原式12(lg 32lg 49)43lg 81212lg 24512(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5)52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 512lg 212lg 512lg (25)12lg 1012.(3)由已知得lg(xy2)2lg xy，(xy2)2xy，即x26xyy20.(xy)26(xy)10.xy322.xy 0，x 0，y 0，xy 1，xy322，log(322)xylog(322)(322)log 322 13221.变式迁移1 解 (1)原式log2748log212log242log22log271248422log2122log223232.(2)原式lg 2 (lg 2lg 50)lg 2521g 2lg 25lg 1002.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较解 (1)log323 log310，而log565 log510，log323 log565.方法一 0 0.7 1,1.1 1.2，0 log0.71.1 log0.71.2.1log0.71.1 1log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7 log1.20.7.方法二 作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7 log1.20.7.(2)ylog12x为减函数，且log12b log12a log12c，b a c.而y2x是增函数，2b 2a 2c.变式迁移2 (1)A alog3 1，b12log23，则12 b 1，c12log32 12，a b c.(2)A a，b，c均为正，log12a2a 1，log12b(12)b(0,1)，log2c(12)c(0,1)0 a 12，12 b 1,1 c 2.故a b c.例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x13，2时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题由于本题底数a为参数，需对a分类讨论解 f(x)logax，则y|f(x)|的图象如右图由图示，可使x13，2时恒有|f(x)|1，只需|f(13)|1，即1loga131，即logaa1loga13logaa，亦当a 1时，得a113a，即a3；当0 a 1时，得a113a，得0 a13.综上所述，a的取值范围是(0，133，)变式迁移3 C 画出函数f(x)|lg x|的图象如图所示0 a b，f(a)f(b)，0 a 1，b 1，lg a 0，lg b 0.由f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.b1a，a2ba2a，又0 a 1，函数ta2a在(0,1)上是减函数，a2a 1213，即a2b 3.课后练习区1C x0，y(12)x(0,1，M(0,1当0 x1时，ylog2x(，0，即N(，0 MN(，12C 1alog23 1，1blog2e 1，log23 log2e.1a 1b 1，0 a b 1.alog32 log3312，a 12.bln 2 ln e12，b 12.c51215 12，c a b.3C 当a 0时，f(a)log2a，f(a) ，f(a) f(a)，即log2a log21a，a 1a，解得a 1.当a 0时，f(a) ，f(a)log2(a)，f(a) f(a)，即 log2(a) ，a 1a，解得1 a 0，由得1 a 0或a 1.4C 由f(2x)f(x)知f(x)的图象关于直线x2xx21对称，又当x1时，f(x)ln x，所以离对称轴x1距离大的x的函数值大，|21| |131| |121|，f(12) f(13) f(2)5C 当x 0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)637(1,2)解析 因为f(x)lgaa2x在区间1,2上是增函数，所以g(x)aa2x在区间1,2上是增函数，且g(1) 0，于是a2 0，且2a2 0，即1 a 2.82 008解析 令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.9解 f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2log23x6log3x6(log3x3)23.(4分)函数f(x)的定义域为1,9，要使函数yf(x)2f(x2)有意义，必须1x29，1x9，1x3，0log3x