高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案.doc

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案 学案30 等比数列及其前n项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理 1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_.3等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam _ (n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则_(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an (0)，1an，a2n，an bn，anbn仍是等比数列(4)单调性：a1 0，q 1或a1 00 q 1 an是_数列；a1 0，0 q 1或a1 0q 1 an是_数列；q1 an是_数列；q 0 an是_数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q (q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna1 1qn 1qa1 qn1 q1a1qnq1a1q1.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_自我检测 1“bac”是“a、b、c成等比数列”的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若数列an的前n项和Sn3na，数列an为等比数列，则实数a的值是 ( )A3B1C0D13(2011 温州月考)设f(n)2242723n1 (nN*)，则f(n)等于 ( )A.27(8n1)B.27(8n11)C.27(8n21)D.27(8n31)4(2011 湖南长郡中学月考)已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则an等于 ( )A8 32nB8 23nC8 32n1D8 23n15设an是公比为q的等比数列，|q| 1，令bnan1 (n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.探究点一 等比数列的基本量运算例1 已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn.变式迁移1 在等比数列an中，a1an66，a2 an1128，Sn126，求n和q.探究点二 等比数列的判定例2 (2011 岳阳月考)已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN*.(1)证明数列an1是等比数列；(2)求an的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列探究点三 等比数列性质的应用例3 (2011 湛江月考)在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且1a11a21a31a41a52，求a3.变式迁移3 (1)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例 (12分)设首项为正数的等比数列an的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项【答题模板】解 设数列an的公比为q，若q1，则Snna1，S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160，q1，2分由题意得a1 1qn 1q80， a1 1q2n 1q6 560. 4分将整体代入得80(1qn)6 560，qn81.6分将qn81代入得a1(181)80(1q)，a1q1，由a1 0，得q 1，数列an为递增数列8分ana1qn1a1q qn81 a1q54.a1q23.10分与a1q1联立可得a12，q3，a2n232n1 (nN*)12分【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1 0，q 1或a1 0,0 q 1时为递增数列；当a1 0，q 1或a1 0,0 q 1时为递减数列；当q 0时为摆动数列；当q1时为常数列(2)函数的思想：等比数列的通项公式ana1qn1a1q qn (q 0且q1)常和指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11q当成整体求解本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1 1qn 1q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用1等比数列的通项公式、前n项公式分别为ana1qn1，Snna1， q1，a1 1qn 1q， q1.2等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明an1anq (q0，nN*) (q是与n值无关的常数)(2)中项法：证明一个数列满足a2n1an an2 (nN*且an an1 an20)3等比数列的性质：(1)anam qnm (n，mN*)；(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则ak alam an；(3)设公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若an是等比数列，且an 0，则lg an构成等差数列 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010 辽宁)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于 ( )A.152B.314C.334D.1722(2010 浙江)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2等于 ( )A11B8C5D113在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5等于( )A33B72C84D1894等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 ( )AT10BT13CT17DT255(2011 佛山模拟)记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则S10S5等于( )A3B5C31D33题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_7(2011 平顶山月考)在等比数列an中，公比q2，前99项的和S9930，则a3a6a9a99_.8(2010 福建)在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.三、解答题(共38分)9(12分)(2010 陕西)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.10(12分)(2011 廊坊模拟)已知数列log2(an1)为等差数列，且a13，a25.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求1a2a11a3a21an1an的值11(14分)已知等差数列an的首项a11，公差d 0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3c2 010.答案 自主梳理1公比 q 2.a1 qn1 4.(1)qnm (2)ak alam an(4)递增 递减 常 摆动 6.qn自我检测1D 2.B 3.B 4.C 5.9课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解 方法一 由已知得：a21q42a21q6a21q8100，a21q42a21q6a21q836.，得4a21q664，a21q616.代入，得16q221616q2100.解得q24或q214.又数列an为正项数列，q2或12.当q2时，可得a112，an122n12n2，Sn12(12n)122n112；当q12时，可得a132.an3212n126n.Sn32112n1126426n.方法二 a1a5a2a4a23，a2a6a3a5，a3a7a4a6a25，由a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，可得a232a3a5a25100，a232a3a5a2536，即(a3a5)2100，(a3a5)236.a3a510，a3a56.解得a38，a52，或a32，a58.当a38，a52时，q2a5a32814.q 0，q12，由a3a1q28，得a132，an3212n126n.Sn3226n121126426n.当a32，a58时，q2824，且q 0，q2.由a3a1q2，得a12412.an122n12n2.Sn12(2n1)212n112.变式迁移1 解 由题意得a2 an1a1 an128，a1an66，解得a164，an2或a12，an64.若a164，an2，则Sna1anq1q642q1q126，解得q12，此时，an264 12n1，n6.若a12，an64，则Sn264q1q126，q2.an642 2n1.n6.综上n6，q2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：an1anq (q为与n值无关的常数)(nN*)a2n1anan2 (an0，nN*)(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法(1)证明 由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)，故总有an112(an1)，nN*，又a15，a110，从而an11an12，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列(2)解 由(1)得an16 2n1，所以an6 2n11，于是Sn6 (12n)12n6 2nn6.变式迁移2 (1)解 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，Sn2Sn122，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速度解 由已知得1a11a21a31a41a5a1a5a1a5a2a4a2a4a3a23a1a2a3a4a5a238a232，a234，a32.若a32，设数列的公比为q，则2q22q22q2q28，即1q21q1qq21q122q122124.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.变式迁移3 解 (1)a3a11a274a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1 a1q a1q2 a1q3a41q61.a13a14a15a16a1q12 a1q13 a1q14 a1q15a41 q548.：a41 q54a41 q6q488 q162，又a41a42a43a44a1q40 a1q41 a1q42 a1q43a41 q166a41 q6 q160(a41 q6) (q16)101 2101 024.课后练习区1B an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q 0，且a231，即a31.S37，a1a2a31q21q17，即6q2q10.故q12或q13(舍去)，a11q24.S54(1125)1128(1125)314.2A 由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则S5S2a1(125)a1(122)11.3C 由题可设等比数列的公比为q，则3(1q3)1q21 1qq27 q2q60 (q3)(q2)0，根据题意可知q 0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4C a3a6a18a31q2517(a1q8)3a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值5D 因为等比数列an中有S32，S618，即S6S3a1(1q6)1qa1(1q3)1q1q31829，故q2，从而S10S5a1(1q10)1qa1(1q5)1q1q512533.6127解析 公比q4a5a116，且q 0，q2，S712712127.7.1207解析 S9930，即a1(2991)30，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a994a1(1833)184a1(2991)747301207.84n1解析 等比数列an的前3项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.9解 (1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等