高考数学知识梳理复习题7-第3讲：离散型随机变量的期望和方差.doc

高考数学知识梳理复习题7第3讲：离散型随机变量的期望和方差 知 识 梳理 x1x2xnPp1p2pn1数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称 为的数学期望，简称_期望_特别提醒： 1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: 3.若B（n,p），则E=np 4.方差: 5.标准差: 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作6.方差的性质： _ _若B(n，p)，则np(1-p) _特别提醒：1. 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 重 难 点 突 破 1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差 2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题3.重难点：.x1x2xnPp1p2pn (1) 期望的一个性质:点拨：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为于是 )，（2）若B（n,p），则E=np 点拨：，012kn又 ， 故若B(n，p)，则np 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：离散型随机变量的期望题型1. 离散型随机变量的期望的应用例1 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理) 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.解题思路： 先求分布列, 再用公式求期望.解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=4分（2）设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，35分P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 的分布列为：0123P 期望E=0+1+2+3=例2 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解题思路：利用二项分布的随机变量的期望E=np 解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,0.9）, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 【名师指引】(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量的期望的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E 公式E（a+b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的期望E=np 【新题导练】1从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。（）所选3人中至少有1名女生的概率；（）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。解析：（）设所选三人中至少有1名女生的事件为A ，P(A)= （）可能取的值为0，1，2， 分，P（=k）= k=0，1，2 ，的分布列为 0 1 2P E=2次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望; (2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到) (1)的可能取值为当时, ; 当时;当时,;12340.70.210.0630.027当时,; 的分布列为: (2) 考点二: 离散型随机变量的方差题型1: 离散型随机变量方差的应用例3 （2008湖北卷17）.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,试求a,b的值.解题思路：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力. 解析： （）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.或即为所求. 例4 （安徽卷19)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（）求n,p的值并写出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解题思路：若B(n，p)，则np(1-p)解析： (1)由得,从而0123456的分布列为(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 【名师指引】求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、.若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 【新题导练】1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.982有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B100115125130145P0.10.20.40.10.2 P0.10.20.40.10.2其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量A和B&都以相同的概率01，02，04，01，02取5个不同的数值A取较为集中的数值110，120，125，130，135；B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为 DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A4；B5；C4.5；D4.75答案：C 2. 设E=10,E=3,则E(3+5)等于( )A.45B.40 C.30 D.15答案:A3设随机变量B(2,p), B(4,p),若，则的值为(A) (B) (C) (D) 答案：B4(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设是离散型随机变量，且，现已知：，则的值为(A)(B)(C) (D) 答案：C5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为ABCD答案：由已知得即，故选D.123P0.40.20.46已知随机变量的分布列是则D=_;答案:0.8综合拔高训练7（广东中山桂山中学2009届高三月考数学（理）试卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.()甲射击4次,至少1次未击中目标的概率_; () 求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率_; () 假设某人连续2次未击中目标,则停止射击. 问: 乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是_ 答案:（1） （2） （3） 8（2008学年中山市一中高三年级第一次统测试题理科数学）交5元钱，可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元，2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。（I）求的概率分布列；（II）求抽奖人获利的数学期望。解（I） ，2610所以的概率分布列为：（II）由（I）知， 所以抽奖人获利的数学期望为：元。9交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为），求抽奖人获利的数学期望。解：因为为抽到的2球的钱数之和，则可能取的值为2，6，10. 且P(=2)= P(=6)= P(=10)= E=2+6+10=， 又设为抽奖者获利的可能值，则=-5， 抽奖者获利的数学期望为 E=E(-5)=E-5=-5=- ，答：抽奖人获利的期望为-. 10一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2