高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案.doc

高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案 学案41 空间几何体的表面积与体积导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力自主梳理 1多面体的表面积(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧_.(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则S正棱锥侧_.(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则S正棱台侧_.(4)设球的半径为R，则S球_.2几何体的体积公式(1)柱体的体积V柱体_(其中S为柱体的底面面积，h为高)特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱r2h.(2)锥体的体积V锥体_(其中S为锥体的底面面积，h为高)特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥13r2h.(3)台体的体积V台体_(其中S，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)特别地，上、下底面的半径分别是r、r，高是h的圆台的体积V圆台13h(r2rrr2)(4)球的体积V球_(其中R为球的半径)自我检测 1已知两平行平面，间的距离为3，P，边长为1的正三角形ABC在平面内，则三棱锥PABC的体积为( )A.14 B.12C.36 D.342(2011 唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，则它的表面积与正方体表面积的比为( )A.33 B.22C.36 D.663设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为( )A.16V B.14VC.13V D.12V4(2011 平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A9 B10C11 D125(2011 陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A823 B83C82 D.23探究点一 多面体的表面积及体积例1 三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60角，求此棱柱的侧面积与体积 变式迁移1 (2011 烟台月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为_探究点二 旋转体的表面积及体积例2 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积变式迁移2 直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_探究点三 侧面展开图中的最值问题例3 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且a b c 0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长变式迁移3 (2011 杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1 2.P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A48 B32817C48817 D802已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是323，则这个三棱柱的体积是( )A963 B163 C243 D4833已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EF a)，若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是( )A有最小值的一个变量B有最大值的一个变量C没有最值的一个变量D一个不变量4(2010 全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )Aa2 B.73a2C.113a2 D5a25(2011 北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A8 B62 C10 D82二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011 马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_7(2011 淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm3.8(2011 四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_三、解答题(共38分)9(12分)(2011 佛山模拟)如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比10(12分)(2011 抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由11(14分)(2011 锦州期末)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积学案41 空间几何体的表面积与体积自主梳理1(1)ch (2)12nah 12ch (3)12n(aa)h 12(cc)h (4)4R2 2.(1)Sh (2)13Sh (3)13h(SSSS) (4)43R3自我检测1D 由题意，SABC34，三棱锥的高h3，V三棱锥PABC13Sh34.2A 设正方体棱长为a，则正四面体棱长AB2a，S正四面体表434(2a)223a2.S正方体表6a2，四面体的表面积与正方体表面积的比为33.3C4.D 据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为SS圆柱S球26412.5A 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V23132823，故选A.课堂活动区例1 解题导引 对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直 线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高解 如图，过点A1作A1O面ABC于点O，连接AO.过点A1作A1EAB于点E，过点A1作A1FAC于点F，连接EO，FO，易得OEAB，OFAC，AA1和AB与AC都成60角，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O面ABC，EOFO.点O在BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，ABC是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，侧面BB1C1C是矩形，三棱柱的侧面积为S234sin 603412123.AA13，AA1与AB和AC都成60角，AE32.BAO30，AO3，A1O6.三棱柱的体积为V34166122.变式迁移1 274解析 如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.ABC为等边三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又侧面与底面边长都等于2，四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连接A1E，则ABA1E，又AD22123，DEAD BDAB32，AEAD2DE232，A1EAA21AE272，S四边形ABB1A17，S三棱柱侧274.例2 解题导引 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算求全面积时不要忘记“内表面”解 如图所示，过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，AC3R，BCR，CO132R，S球4R2，S圆锥AO1侧32R3R32R2，S圆锥BO1侧32RR32R2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧112R232R21132R2，旋转所得到的几何体的表面积为1132R2.又V球43R3，V圆锥AO113 AO1 CO2114R2 AO1，V圆锥BO113BO1 CO2114R2 BO1，V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)43R312R356R3.变式迁移2 20解析 在ABC中，ABAC2，BAC120，可得BC23，由正弦定理，可得ABC外接圆的半径r2，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOBO中，易得球半径R5，故此球的表面积为4R220.例3 解题导引 本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为： ab 2c2a2b2c22ab，a2 bc 2a2b2c22bc， ac 2b2a2b2c22ac，a b c 0，ab ac bc 0. 故最短线路的长为a2b2c22bc.变式迁移3 52解析 将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示连接A1C即为CPPA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1CA1D2CD2 4915 2.课后练习区1C 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为421217.所以S表422412(24)42417248817.2D 由43R3323，R2.正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则13 32a2，a43.V34(43)24483.3D 4.B5C 将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.667解析 取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM3，PM437.S侧6122767.7.153解析 围成圆锥筒的母线长为4 cm，设圆锥的底面半径为r，则2r14 24，r1，圆锥的高h421215.V圆锥13 r2 h153(cm3)82R2解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为2Rcos ，圆柱底面半径为Rsin ，S圆柱侧2 Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当sin 21时，S圆柱侧最大为2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法二 设圆柱底面半径为r，则其高为2R2r2.S圆柱侧2r 2R2r2，S圆柱侧4R2r24r2R2r2.令S圆柱侧0，得r22R.当0 r 22R时，S 0；当22R r R时，S 0.当r22R时，S圆柱侧取得最大值2R2.此时S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法三 设圆柱底面半径为r，则其高为2R2r2，S圆柱侧2r 2R2r24r2 R2r2 4r2 R2r2 22R2(当且仅当r2R2r2，即r22R时取“”)当r22R时，S圆柱侧最大为2R2.此时S球表S圆柱侧4R22R22R2.9解 设圆柱的底面半径为r，母线长为h，当点C是弧 的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABCA1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1ABC的体积为13r2h，四棱锥A1BCC1B1的体积为r2h13r2h23r2h，圆柱的体积为r2h，(10分)故四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比为23.(12分)10(1)证明 取BC的中点E，连接AE，DE，EF，ABC与DBC都是边长为4的正三角形，AEBC，DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD 面AED，BCAD.(6分)(2)解 由已知得，AED为等腰三角形，且AEED23，设ADx，F为棱AD的中点，则EF1212x2，SAED12x 12x241448x2x4，(8分)V13SAED (BECE)1348x2x4 (0 x 43)，当x224，即x26时，Vmax8，该四面体存在最大值，最大值为8，(11分)此时棱长AD26.(12分)11(1)证明 由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD