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第二章 连续时间系统的时域分析 魏雄例题2-5：建立电流的微分方程。解：不要用积分，尽量用微分。根据回路电压法可以得到： （1） （2） 根据节点电流法可以得到： （3） 由（1）式得： （4）从而： （5）将（4）式代入（2）式得： （6）由（3）式得： ，再将（5）式代入该式可得： （7）从而： （8）将（7）、（8）两式代入（6）式，可以得到：，即：，也就是：，这就是图2-3所示电路的数学模型。例2-5：给定如图2-3所示电路，t0开关S处于1的位置且已经达到稳态；t=0时, S由1转向2,求解：换路前：，换路后,由于电容两端的电压和电感中电流不会发生突变，作出图（2）所示时刻等效电路。例2-6（a）:用冲激函数匹配法求解例2-5中的状态。给定系统的微分方程为：，状态为：，。 输入从状态到状态的跳变为，求状态和解：因为我们是根据状态到状态的跳变过程来确定状态，所以代入给定系统的微分方程的应该是输入端口的变化值，也就是2伏，即。从状态到状态系统的微分方程为：用冲激函数匹配法，可以设将上式代入“状态到状态系统的微分方程”，可以得到：求得：因而有：已知状态，所以状态为：例2-7:给定系统的微分方程（学生自己练习，也就是习题2-6的第1小题） （1）若激励信号为, 起始状态为求0+状态: 解：将代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为 （2）为0-到相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有d(t),故从到状态发生跳变。方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是d(t),因而可以设 (0-t0+)代入式(2)可以得到： 因而有状态为例2-6(b)：求例2-5所示电路在时的的变化。解：系统的特征方程为：，齐次解为：时的输入为，特解为：，代入系统的微分方程可得， 所以系统的完全解可以表示为：上面两例已经求得状态的和，所以从而得在时的完全响应为：冲激函数匹配法求解系统的状态一般方法是：t=0时微分方程为 ， (t)可以设代入t=0时微分方程,求出、则有状态为第83页作业题2-6: 给定系统的微分方程为 （1）若激励信号为，起始状态为求系统的完全响应。解:（一）零输入响应为满足微分方程：和的解。特征方程的根为：，零输入响应的形式可以设为： （）由于在零输入状态下,无外界激励作用,因而系统的状态不会发生变化，。代入中可以求出常数零输入响应为：（二）零状态响应为满足微分方程 （3）及起始状态的解上面已求出特征根为: ，方程式(3)对应的齐次解为：时微分方程：，它的特解是零状态响应的形式可以设为：用冲激函数匹配法可求出系统的状态如下: 代入求出常数：零状态响应为：例2-8，参见教材第54页例题2-8，请同学们自学。解：时输入为，时输入为，（1）零输入响应时输入为，所以输入的变化量为，而是可得状态到状态系统的微分方程：利用冲激响应匹配法可设： (0-t0的区间恒为零。也就是说，激励信号的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各贮能元件中，而在t0系统的激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作用，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。求解的方法：h(t)作为一个特殊的响应来处理（先讨论右边只有的情况），系统处于零初态。对于将是一个特殊的零输入响应。在时，的形式与齐次解的形式相同，可以表示为，所以关键是求出冲激函数作用下系统的状态。求出后，就可以求得各值。下面以二阶系统为例，介绍的求法。2阶导数项肯定是一个冲激函数，在t=0不连续，1阶导数项肯定是一个阶跃函数，在t=0不连续，0阶导数项肯定是一个斜坡函数，在t=0连续，连续函数在某一个点的积分肯定为零，所以，所以。从而可得两个初始条件为：，例题：R=3,L=0.5H,C=0.25F输入电压源为冲激函数,求h(t)=?LvcR+ vl -C+-解：特征方程的特征根为：， ， ， 总结：对于微分方程，状态为：，对于的右边有及的高阶导数的情况，可以利用线性时不变系统的叠加性、微分、积分性质求解。若，则可表示为；若，则的表达式中含有及其相应的导数。例题：，求。解：解得，所以，例题2-9 对于图2-3所示电路，求电流对激励的冲激响应。解：图2-3所示电路用微分方程表示如下：系统冲激响应为：即：令：则：特征方程的根为：从而可知， =例题2-10 对于图2-3所示电路，求电流对激励的阶跃响应。解：图2-3所示电路用微分方程表示如下：系统冲激响应为：即：令：特征方程的根为：6， 所以有从而有=（四）卷积积分的快速定限方法参考信号与系统分析（吴京等编著，国防科技大学出版社1999年3月第一版第36页）若参与卷积的两个函数和都是只有一个定义段,它们的时限长度分别为和,并且,长函数的左右时限分别为和,而短函数的左右时限分别为和，并规定积分号内括号统一只表示， 即只反转时限长的函数，也就是例题：两个函数和如图所示，求出它们的不