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第二章圆 2 6弧长与扇形面积 如图是某城市摩天轮的示意图 点O是圆心 半径r为15m 点A B是圆上的两点 圆心角 AOB 120 你能想办法求出的长度吗 因为 AOB 120 所以的长是圆周长的 因此的长为 我们知道圆周长的计算公式为C 2 r 其中r是圆的半径 即360 的圆心角所对的弧长就是周长C 如果 AOB n 你能求出的长吗 在同一个圆中 由于圆心角相等 它们所对的弧也相等 因此1 的圆心角所对的弧长为 n 的圆心角所对的弧长l为 半径为r的圆中 n 圆心角所对的弧长l为 例1 已知 O的半径为30cm 求40 的圆心角所对的弧长 精确到0 1cm 解 cm 例2 如图 一个边长为10cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上绕顶点C按照顺时针方向旋转到 A B C 的位置 求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少 解 由图可知 由于 A CB 60 则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120 即 ACA 120 这说明顶点A经过的路程长等于的长 等边三角形ABC的边长为10cm 所在圆的半径为10cm cm 答 顶点A从开始到结束时所经过的路程为 cm 1 如图 一块铅球比赛场地是由一段80 的圆心角所对的圆弧和两条半径围成的 若该比赛场地的周界是34m 求它的半径OA长 精确到0 1m 答案 10 0m 扇形 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形 如右图 蓝色部分是一个扇形 记作扇形OAB 可以发现 扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关 在同一个圆中 圆心角越大 扇形面积也越大 思考 如何求半径为r 圆心角为n 的扇形的面积呢 我们可以把圆看作是圆心角为360 的扇形 它的面积即圆面积S r2 因为圆绕圆心旋转任意角度 都能与自身重合 所以圆心角为1 的扇形能够相互重合 从而圆心角为1 的扇形的面积等于圆面积的 即 因此 圆心角为n 的扇形面积为 半径为r的圆中 圆心角为n 的扇形面积为 又因为扇形的弧长为 因此 例3 如图 O的半径为1 5cm 圆心角 AOB 58 求扇形OAB的面积 精确到0 1cm2 解 r 1 5cm n 58 cm2 例4 如图是一条圆弧形弯道 已知OA 20m OC 12m 的长度为9 m 求圆弧形弯道的面积 答 这条圆弧形弯道的面积为96 m2 1 如图 在 O中 AOB 120 弦
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