高一实验班空间角及其求法.doc

典例分析 例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1， M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM和CN所成角MN 途径一 过D1作D1E/AM，作D1F/CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解D1EF即可。途径二 过D作D1E/AM，再过N作NG/D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解即可。 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。例2.如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足. （1）求证：A1P平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值 解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR， 易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1P 面AQD， 设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知 即为所求角，只需解三角形SPQ即可。 方法提炼2.求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。 例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。解析1.定义法过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则 为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。 解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。 易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G， 连接GF，由三垂线得GF PC 即 EGF 为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可解析4. 射影面积法由解析3的分析过程知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，余下的问题比较容易解决！ 解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。 利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可。A定义法（点在棱上）B.三垂线定理（点在面内）C.垂面法（点在空间内）方法提炼3.求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 （2）三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 （3）垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 （4）射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解如图所示， 射影DDBC、斜面ABC与两面所成的二面角q之间有：（5）空间余弦定理运用公式如图六.针对训练 针对训练1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是棱A1B1、C1B1的中点。求EF与AD所成角的大小为_，B1C与ABD1平面所成角为_。 针对训练2. 已知二面角a l b ，A为面a内一点，A到b 的距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 a l b 的大小。 针对训练3 . 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=2, 求二面角P-AB-C的正切值针对训练4. 如图P为二面角内一点，PA, PB,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 针对训练五.在直角坐标系xOy中，设A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时 则 的度数 七.专题总结 本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结