第四章高数课件何满喜4.6定积分的应用.ppt

高等数学 由杨艳制作 第四章一元积分学 4 6定积分的应用 4 6 1微元法 4 6 2定积分在几何中的应用 4 6 3定积分在物理中的应用 4 6 4定积分在经济中的应用 4 6 5小结 回顾曲边梯形求面积的问题 4 6 1微元法 解决步骤 1 大化小 在区间 a b 中任意插入n 1个 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 常代变 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 分点 3 近似和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 分析 在上述问题注意到 所求量 即面积 A满足 1 与区间 a b 及 a b 上连续函数f x 有关 2 对 a b 具有可加性 即 3 局部量 且误差为 表示为 什么问题可以用定积分解决 1 所求量F是与区间 a b 上的某分布f x 有关 2 F在区间 a b 上具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 的一个整体量 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出 积分表达式 这种分析方法成为微元分析法 简称微元法 整体量的精确值 局部量的近似值 直角坐标系下求平面图形面积 4 6 2定积分在几何中的应用 4 6 2 1平面图形的面积 演示 1 由x a x b y 0及y f x f x 0 所围成 的平面图形的面积为 2 由x a x b y 0及y f x 所围成的平面图 形的面积为 X型平面图形 Y型平面图形 定理1若函数f x 和g x 在 a b 上连续且总有 则由两条连续曲线y f x y g x 与两条直线x a x b所围成的X型平面图形的 面积为 定理2若函数f x 和g x 在 a b 上连续 则由 两条连续曲线y f x y g x 与两条直线x a x b 所围成的X型平面图形的面积为 定理3若函数 在 c d 上连续 图形的面积为 与两条直线y c y d所围成的Y型平面 定理4若函数 在 c d 上连续 线y c y d所围成的Y型平面图形的面积为 则由两条连续曲线 与两条直 例1求由曲线以及直线所围的平面图形的面积 解 这是一个Y型平面图形 可解得曲线的交点为 1 1 4 2 例2求由曲线以及所围的平面图形的面积 解 这是一个X型平面图形 可解得曲线的交点为 1 1 0 0 2 4 极坐标系下求平面图形面积 及射线围成 则面积为 定理5设一平面图形由连续曲线 解由对称性 只需求出上半部分的面积 极坐标系下两曲线的方程分别为 交点坐标为 交点为 由对称性可得 解 参数方程形式下求平面图形面积 定理6设一平面图形的边界方程为 且 可导 则该平面图形的 面积为 所围成的面积 平行截面面积已知的体积计算 4 6 2 2空间几何图形的体积 定理7设有一空间几何体 该立体位于平面 x a和x b之间 已知垂直x轴的截面面积函数 为A x 且A x 在 a b 上连续 则该几何体 的体积为 解由已知 取底圆的一条直径为x轴 在底圆 则该底圆 例6已知一几何体的底面是以5为半径的圆 用垂直于底圆的平面去截该几何体 截得的截面是等边三角形 求该几何体的体积 上取一条垂直于x轴的直径作为y轴 的方程为 在 5 5 之间任取一点x 过该点的截面面积为 由平面图形D绕定直线l旋转一周生成的几何形体称为旋转体 定直线称为旋转轴 示例 圆锥 圆柱 圆台 等都是旋转体 旋转体的体积计算 演示1 演示 演示2 推论1连续曲线y f x 与直线x a x b及x轴所围 成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积 为 演示 围成的曲边梯形绕y轴旋转一周生成的旋转体体 积为 推论2连续曲线与直线y c y d及y轴所 演示 成的图形分别绕x轴 y轴旋转所成的立体的体 积 解 绕x轴旋转所得立体的体积为 绕y轴旋转所得立体的体积为 4 6 2 3平面曲线的弧长 直角坐标系下求曲线的弧长 定理8设y f x 在 a b 上存在连续导数 则该函数在 a b 上的曲线弧长为 例8求对数曲线y lnx在区间 1 3 上的弧长 解 参数方程形式下求曲线的弧长 例9求旋轮线一拱 的弧长 极坐标系下求曲线的弧长 定理10设是的连续可导函数 则曲线的弧长为 例10求阿基米德螺线的弧长 解 4 6 3 1质心 4 6 3定积分在物理中的应用 现有一均匀薄片 由曲线 及直线x a a b所围成 且 薄片的 面密度为常数 则其质心为 例11求密度均匀的直角三角形薄片的质心 取坐标系如图所示 直线AB的方程为 解 故质心坐标为 4 6 3 2变力做功 如果物体在运动过程中所受的力是变化的 之间满足y F x 则此力将物体从x a移动到 x b所做的功为 设做直线运动的物体所受的力与移动的距离x 例12用铁锤将铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1cm 如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等 问锤击第二次时 铁钉又击入多少 4 6 3 3液体静压力 例13设半径为R 的圆形水闸门与水面垂直置 于水中 水面与闸顶齐 求闸门所受的总压力 4 6 3 4引力 例14设有一长度为l 质量为M的均匀细直棒 另有一质量为m的质点与细直棒在同一条直线 上 它到细直棒的近端距离为a 试计算该棒 对质点的引力 4 6 4定积分在经济中的应用 例15设某货物去年各月的存货量可用下式表达 其中t表示月份 I t 表示在t月份的存货量 试求去年第二季度平均存货量 单位 吨 例16某公司每个月生产x台电视机 边际利润 以美元为单位 由下式给出 目前公司每月生产1500台电视机 并计划提高 产量 试求出每月生产1600台电视机时 利润 增加了多少 1 微元法的提出 思想 步骤 注意微元法的本质 4 6 5小结 2 定积分在几何中的应用 平面图形的面积 边界方程 极坐标方程 直角坐标方程 参数方程 已