第四章 (1)根轨迹法(基本概念).ppt

根轨迹法是解决由开环零点 得到闭环极点分布情况的图解法 根轨迹 是当开环系统中某一个参数 增益K 变化时 闭环系统特征方程根在平面上变化的轨迹 如果一旦获得根轨迹 则 可直接得到闭环极点 得到系统对时间响应的全部信息 可间接得到闭环频率响应的信息 本章的目的 画根轨迹 从根轨迹上分析系统各种信息 第四章根轨迹法 4 1引言问题的提出 闭环控制系统的稳定性和性能指标是由闭环极点在复平面的上的位置决定的 因此在系统设计分析中 确定系统闭环极点的位置尤为重要 在一般情况下 系统的开环传递函数是容易求得 如采用分析法 实验法等 因而容易求得系统的开环极点 但是系统的闭环极点却难以求取 一般要解高次代数方程 那么能否通过不解方程来近似获取系统的闭环极点呢 另一个问题是 通过解方程求得的闭环极点 是在系统参数一定的情况下求得的 但当系统中的参数变化时 如开环增益K变化时 又得重新解方程求根 因而很不方便 为了解决以上问题 1948年 伊万斯提出了控制系统分析设计的根轨迹法 这种方法是根据反馈控制系统的开环 闭环极点传递函数之间的关系 根据一定的准则 直接由开环传递函数的零 极点 求出闭环极点 从而 比较容易的得到系统的性能 根轨迹法是一种图解方法 它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一 由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根 即系统的闭环极点 在S平面上的分布 因此 用根轨迹法分析自动控制系统十分方便 特别是对于高阶系统和多回路系统 应用根轨迹法比用其他方法更为方便 本章主要介绍根轨迹的概念 应用MATLAB绘制根轨迹和用根轨迹法分析自动控制系统的性能 引言 A 闭环系统的稳定性和动态性能取决于闭环极点特征方程的根 B 当待定参数变化时特征根随之变化 这个根的变化轨迹就形成根轨迹 C 用来研究根轨迹的变化规律以及和闭环系统性能间的关系的方法 称为控制系统根轨迹分析法 引言 4 2根轨迹的概念 要求 1 掌握根轨迹的概念2 掌握根轨迹幅值条件和相角条件重点 1 根轨迹的概念2 闭环系统的特征根的根轨迹与开环传递函数的关系 什么是根轨迹 一 根轨迹基本概念根轨迹 开环传函某个参数由0 时闭环特征根在S平面上移动的轨迹 什么是根轨迹 ks s 2 X Y 例1 1 开环传函 开环极点 s1 0 s2 2开环零点 无 2 闭环传函 闭环特征方程 s2 2s K 0 如何绘制根轨迹图 j s2 s1 2 闭环特征根 1 如何绘制根轨迹 闭环特征根 分析 1 K 1临界阻尼 重根 2 0 K 1 两个负实根过阻尼状态 3 K 1共轭复根 欠阻尼衰减振荡 且K越大 越小 振荡越烈 K与根轨迹有什么关系 闭环传函 闭环特征方程 根轨迹方程 二 根轨迹方程 K 根轨迹增益 开环传函 根轨迹方程与点有什么关系 幅值条件方程 相角条件方程 两个条件与轨迹上的点有什么关系 三 幅值和相角条件 由根轨迹方程得 结论 1 相角条件方程与K无关 幅值方程才与K相关 2 相角条件是决定根轨迹的充要条件 s平面上一点若满足相角条件 即为根轨迹上的一点 3 幅值方程用于确定根轨迹上一点的K值 根轨迹点 幅值方程 四 根轨迹与系统性能1 稳定性如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部 系统是稳定的 否则是不稳定的 若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面 根轨迹与虚轴交点处的K值 就是临界稳定的开环增益Kc 2 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点 所以属 型系统 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数 如果给定系统的稳态误差要求 则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围 如何分析系统性能 3 动态性能 当K 1时 所有闭环极点均位于实轴上 系统为过阻尼系统 其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程 当K 1时 特征方程的两个相等负实根 系统为临界阻尼系统 单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程 当0 K 1时 特征方程为一对共轭复根 系统为欠阻尼系统 单位阶跃响应为阻尼振荡过程 振荡幅度或超调量随K值的增加而加大 但调节时间不会有显著变化 五 闭环零 极点与开环零 极点的关系 尾1式 首1式 尾1式 首1式 结论 开环 闭环零 极点的关系 1 闭环根轨迹增益等于前向通路根轨迹增益 单位反馈系统 闭环根轨迹增益等于开环根轨迹增益 2 闭环零点由前向通路零点和和反馈通路极点组成 单位反馈系统 闭环零点等于开环零点 3 闭环极点与开环零 极点以及根轨迹增益均有关 为什么要研究开环和闭环零 极点的关系 4 3绘制根轨迹的法则 实验利用MATLAB绘制系统根轨迹假设闭环系统中的开环传递函数可表示为则闭环特征方程为 特征方程的根随参数K的变化而变化 即为闭环根轨迹 项目1 已知系统的开环传递函数模型为 利用下面的 命令可容易地绘制出系统的根轨迹 G tf 1 conv 1 1 1 2 0 rlocus G gridtitle Root LocusPlotofG s K s s 1 s 2 xlabel RealAxis 给图形中的横坐标命名 ylable ImagAxis 给图形中的纵坐标命名 K P rlocfind G 用鼠标单击根轨迹上与虚轴相交的点 在命令窗口可发现如下结果 select point 0 0000 1 3921iK 5 8142P 2 29830 0 0085 1 3961i 0 0085 1 3961i所以 要想使此闭环系统稳定 其增益范围应为 参数根轨迹反映了闭环根与开环增益的关系 可以编写下面的程序 通过 的变化 观察对应根处阶跃响应的变化 考虑 这些增益下闭环系统的阶跃响应曲线 可由以下 命令得到 holdoff 擦掉图形窗口中原有的曲线 t 0 0 2 15 Y forK 0 1 0 1 1 2 5 GK feedback K G 1 y step GK t Y Y y endplot t Y 对于for循环语句 循环次数由 给出 系统画出的图形如图所示 可以看出 当 的值增加时 一对主导极点起作用 且响应速度变快 一旦 接近临界 值 振荡加剧 性能变坏 课题 第二节开环零极点对根轨迹的影响 要求 了解开环零极点对根轨迹的影响能用系统根轨迹分析系统性能 第二节开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点时结论 1增加开环极点将使