考研数学概率笔记...

-  -1第一章  事件与概率（一次半）基础班（ 8 次 学时 83=24 小时）概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。简史：起源于赌博。17 世纪法国 Pascal 和 Fermat 解决 Mere（公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。18 世纪早期 J.Bernoulli 提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理） ，19 世纪初 Laplace 提出了古典概率定义。 20 世纪 30 年代 Kolmogorov建立了概率的公理化定义（19 世纪末 Cantor 集合论和 20 世纪 30 年代 Lebesgue 测试论） 。历史上 Gauss、De  Moirve、 、Chebeshev 、Liapunov 、Borel、Khinchine 、Markov、K.Pearson 、Fisher、Cramer、Wiener 、Doob 、Ito、许宝禄、Rao 等人亦对概率统计发展作出了重要贡献。1.1 随机事件、样本空间、例子，称满足 、 、 条件的试验为随机试验，记为 E，基本事件 a b c（样本点）：用 e 表示;随机事件：用“A,B,”表示;样本空间（必然事件）：用 S 表示。Remark：（1） 发生 ，e i出现了；（2）S 引入意义。AAi,1.2 事件的关系与运算（两种语言刻划）一、六种关系： 1. 0,12.,.0,1234,50,234,5.10,78,910,2,SABCABC例 观 查 某 电 话 呼 叫 台 接 到 的 呼 叫 次 数 的 随 机 试 验求 之 间 的 关 系二、四个运算性质：Remark：（1）两个事件互斥（互不相 容）      两个事件互为对立事件；（2）AB= =AAB；B（3）事件的假设与事件的相互表示是学好概率论与数理统计的基本功。例 1 某人向一目标射击三次，A i 表示第 i 次命中（i=1,2,3）,B j 表示命中 j 次（j=0,1,2,3）,用 Ai 表示 Bj。例 2 设 A,B,C 为 E 中三个事件，用之表示：（1）仅 C 发生；                       （2）A,B,C 至少有一个发生；（3）A,B,C 仅有两个发生；              （4）A,B,C 中不多于两个发生；（5）A,B,C 中不多于（或至多）一个发生；（6）A,B,C 中不少于两个发生。1.3 古典概率P（A）：事件 A 发生的可能性大小数值。它是抽象集函数且是客观存在的。例子（ 4-  -2个）定义（古典概型 E）  )(#SAP例子：例 1（电话号码）. 从 09 中有重复抽取 5 个数组成五位数的电话号码，求：（1） 的概率；（2） 的概率；""五 个 号 码 全 相 同A ""2五 个 号 码 全 不 相 同A（3） 的概率；8五 个 号 码 中 有 两 个例 2（抓阄问题） 某袋中有 6 个白球，4 个黑球，依次一个接一个摸出，求 A=“第次摸得白球”概率。 （实用范围：竞赛分组，两种手法） 。k例 3（分配问题） 现有 N 个房子， n 个人，每个房子足以容纳 n 个人，每人以等概率进入每个房子，今将 n 个人随机分配到 N 个房子中，求 A=“指定 n 个房子各一人”概率；B=“恰有 n 个房子各有一人”的概率；求 C=“某一指定房子恰有 k 人”概率。（分配原则；实用范围：分房、分球、分信、生日问题） 。例 4 （超几何概率与二项概率）袋中 10 个产品，其中 6 个正品，4 个次品，从中按两种方式（不放回和有收回） ，任取 3 个产品，求其中恰有 2 个正品 A 之概率。 （实用：产品检验。 ）Theorem：古典概率满足 7 条。  利用古典概率性质计算概率的例子例 5 （电话号码）从 09 中抽取 5 个数随机组成电话号码，求五个数的电话号码中至少有二个数相同 A 之概率。例 6 某袋中有 180 件产品，其中次品 8 件，从中任取 4 件，求 A=“次品数超过 1”概 P（A）=0.010。例 7 从 0,1,2,9 等 10 个数字中任意选出三个不同数字，B 1 不含 0；B 2 不含 5。求 A1=“三个数中不含 0 和 5”；A2=“三个数中不含 0 或 5”；A3=“三个数中含 0，但不含 5”概率；1.4 几何概率定义（几何概型 E） )(SLAP例 1 （约会问题）甲乙两人约定在  内会面，若一人先到，则等 小时后即离去，求T,0t此两人在 内会面的概率。T,0例 2 （三角形构成问题）将一根为 之线段随机地截为三段，求三线段构成一个三角形 Aa的概率。例 3（Buffon 投针问题（1777 年） ）在一个平面上画一些距离为 的平行线，然后再向此a-  -3平面投一根长为 的针（ ，求针与平面相交的概率。l)alTheorem：几何概率满足（ 1） （7）1.5 统计概率与公理化定义例 1 掷硬币 n 次 E； 定义 1（频率定义） nmAf)(Remark（1）.n 充分大时 fn(A)稳定性；（2）不确定性；一般 。)()(21Afnn定义 2（统计概率）  P（A）=P (A)=pRemark（1）适合一切 E；（ 2）无法定 p 但 n 很大时 。)(fnTheorem： 满足(1),(2),(3)，利用 Th 及 Def2，统计概率满足（ 1）（7） 。)(fn1933 年 Kolmogorov公理化定义（13） 三个推论补充：例 1 （1）r 个人生日全不同概率；（2）教室里 4 个人至少有两人生日在同一个月概率；例 2  6 个人中生日在星期几等可能，求其生日在一星期中某两天但不在同一天 A 概率；例 3 从编号为 110 任取三个，求（1）最小号码为 5 这一事件 A 的概率；（2）最大号码为 5 这一事件 B 的概率；例 4 若 A1,A2,A3 同时发生必然导致 A 发生，则 ；31)()(iiP例 5 若 ，P（AB）=0=P（AC） ，P（BC）= ，求41)()(CP 81；)(CBP例 6 设 P（A）=p，P（B）=q， ，求rBA)(。)(),(), BAA第二章  条件概率与独立性（一次半）2.1 条件概率 乘法定理-  -4发生的条件下，B 发生的条件概率。AP)(例 1 袋 1（4 个白球，2 个黑球） ；袋 2（4 个黑球，2 个白球） ，掷硬币一次 E，若出现正面（H） ，从袋 1 中任取一球；否则（ T） ，从袋 2 中任取一球，A 表示任取一球为黑球。求已知 H 信息条件下 A 发生的概率（两件事：几何概率 条件频率; 条件统计概率） 。定义（P（B）>0）比值 为. 记 。)(BP)(Remark：（1） ；（2）一般意义。(STheorem1.条件概率满足三条公理（P （B ）>0） ，由之推出(4),(5),(6),(7)；Theorem2.设 P（A） ，P （B）>0，则 ，)()(ABPA；)()(BTheorem3.设 P（A 1An-1）>0，则 。)()()( 11211 nnn A例 1 某包装了器皿今扔三次，第一次扔下器皿损坏的概率为 0.4；若第一次未损坏，第二次扔下器皿损坏的概率为 0.6；若第二次未损坏，第三次扔下器皿损坏的概率为 0.9，求A=“器皿损坏”概率（0.976） ；例 2 某袋中有 10 个球，其中 6 黑 4 白，从中任取 3 个，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率 。18950;142.2 全概率公式例 1 某袋中有 10 个球，其中 6 白 4 黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分别摸到白球的概率。Theorem1.设 A1,An,是可数无穷多个互斥事件， 且()01,2)iPA，A S，则有： ；1iS1()iii例 2 甲袋（3 个白球，2 个黑球） ；乙袋（4 个白球，4 个黑球） ，从甲袋任取 2 个，放入乙袋，再从乙袋任取一球，A 表示取到白球，求  ；)(AP513例 3 某袋中 15 个乒乓球，其中 9 个新球，第一次比赛时任取 3 个，然后放入原袋中，求第二次比赛时取出三个新球 A 的概率（0.089） ；2.3 Bayes 公式1763 年英国牧师 Bayes论机遇理论中一个问题的解决 （普赖斯） ，Bayes 曾师从-  -5D.Moirve；例 1 发射台发出“”,“”信号比例为 5：3，由于干扰，发出“”,“”信号的失真率分别为 ，求接受到“”信号时亦发出“”信号概率；3152Theorem2.(Bayes)条件同 Th1, P(B)>0,则 1)()(i iijjj ABPBAPP（A i）先验概率， 专门科学知识， 后验概率。)(iBP)(j例 2 上节例 2 中若已知 A 发生条件下， A1 发生的概率 。2615例 3 设某袋中有 m+n 枚硬币，其中 m 枚为次品（两面均为国徽） ，从中任取一枚，掷 r 次均得到国徽，求它是正品这一事件的概率。2.4 独立性一般 ，特殊 ，即 P（AB）=P （A ）P（B ）)(BPA)(BA定义 1（两个事件独立） Remark：（1） ， （2）  Th1 Th2定义 2（三个事件独立） A.B.C 满足(1),(2),(3),(4). 则称; 两两独立（(1).(2).(3)）Remark: 1)一般地，由（1） （ 2） （3）成立推不出（4）成立；（ Bernstain 反例）2）一般地，由（4）成立推不出（1） （2） （3）全成立例 1.1)(Bernstein 反例);2)若一个均匀对称色子;若 1 点(红,白,黑),2 点(红),3 点( 红,黑), 4 点( 红,白),5 点(白),6 点(黑)或红(1;2;3;4);黑(1;3;6);白(1;4;5); 用 A,B,C 分别表示色子出现红 ,白,黑事件,问 A,B,C 是否相互独立?为什么?例 2 几何概型 E ,  M1,M2,M3 是否两两独立？为什么？定义 3 （n 个事件独立性（n2） ）( )CCnnn 1032例 3.甲、乙、丙三人各自向一飞机射击一次，他们命中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7;若飞机中一弹而被击落的概率为 0.2；若飞机中两弹而被击落的概率为 0.6；若飞机中三弹必然被击落。求飞机被击落的概率。例 4（可靠性问题） ，每个同类型的元件可靠性为 r，n 个元件是否正常工作相互独立，试求下面两个系统（1） （2）的可靠性并比较两个系统的可靠性.1                                               n1                                       n(2)                                        (1)例 5 （图书馆借书）某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每个图书馆而言，有nn 11-  -6无此书概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该考生能借到书的概率。2.5 二项概率公式和泊松近似公式定义 1（n 次重复独立 E）   定义 2（n 重贝努里 E）Remark：贝努里 E：A成功： 失败；n 重贝努里 E： ；)()(11iniCPP转化条件。Theorem1：（二项概率）  ，k=0,1,2,n    推论：()knnq 0()1nkP例 1 从一批次品为 30%任取 5 件；求：（1）恰有 2 个次品概率（0.309） ；（2）至少有 2个次品概率（0.472） 。例 2 昆虫产卵 k 个卵的概率为 ；各个孵化为虫的概率为 P；各个卵是否孵化为虫相!ke互独立。求该昆虫下一代有 条虫的概率。例 3 某数字传输器： 512103 个 0 或 1/秒，由于干扰，每传送一次产生误码的概率为 p=10-7, 求 10 秒内产生一个误码概率（ 0.30）.n 充分大， p 很小， =p,A-稀有事件。这是一个计算的复杂性问题，这类问题是 21)(AP世纪数学乃至是计算领域的重要问题（陈省生大师） 。1837 年法国人 Possion 解决了上述具体问题。Theorem2. n 重贝努里 E，nP n= （常数）,成功概率为 pn, 则对：kRemark：ekPn!)(lim)(nP1.0,例 4 （保险问题）某保险公司有 2500 人 参加保险，每人交纳保险费  12 元/年，假定每人在一年内死亡的概率为 p=0.002，若一人在一年内死亡，其家属可领丧葬费 2000 元。求（1）保险公司亏本 A 之概率 (0.000069)；（2）公司获利不少于 10000 元 B 之概率（0.986305） 。补充：例 1 考试时有四道选择，每题附 4 个答案，其中一个正确，一个考生随意地选择每题答案，求他至少答对三道 A 的概率 ；25613)4(3)1(C例 2 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，-  -7求另一件亦不合格的概率 5154212 216421APAPC例 3 从 52 张扑克牌中任取 5 张，求在至少有 3 张黑桃条件下，5 张均为黑桃的概率)(AP 24931例 4 证：若 A，B，C 独立，则 及 AB 都与 C 独立。第三章  随机变量及其布3.1 随机变量的概念与赌博有联系  S 可能为数值集合亦可能不是，怎样利用数学分析中函数来刻划事件的概率，需要引入 概念；随机试验结果的函数（一般有两类：一类随机试验的结果直接是vr数值；另外一类随机试验的结果不是数值（需要引入映射才可与数值对应） 。 ）例 1 掷硬币一次 E，S= 正面，反面     建立：X： e r    正面 1    反面 0（X=1）“正面” ；（X=0）“反面”  X：S     H 对应1,例 2 掷硬币两次 E，S=（0,0） ， （0,1） ， （1,0） ， （1,1）X 表示出现正面次数     X:S 0,1,2单质对应定义：ESe，都有唯一实数 X（e）与之对应，则称 X（e）为随机变量，记 vXrRemark X 为定义于 S 上一个函数；值域通常含两个 or 两个以上数集。事件 A 的示性函数：称 为 A 之A,01)(； .   ，e"1)("vrA为可用示性函数表述事件的 6 种关系：A ABBAABBA1 03.2 离散型 vXre (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)X 0 1 1 2-  -8定义 1（分布列）   Pi 满足（1） ， （2）反之，亦成立（3） AiiPX)(例 1 （几何分布）在相继独立贝努里 E 中，每次成功概率均为 p，求首次成功所需贝努里试验的次数 X 分布；并求当 时5),64(X例 2 某袋中有 a+b 件球，其中 a 个白球，b 个黑球，从中任取 r 个，求白球个数 X 的分布列；三个特殊分布：（1）两点分布（贝努里分布） ；（2）二项分布；（3）泊松分布；3.3 分布函数例 1 向（a,b）内掷一随机点，几何概型 E，求落点坐标 X 的分布。，用离散型随机变量分布列的bax,(0)(xXP2121,(,xbax办法无法描述其概率分布。需考虑随机变数在一个区间上的取值的概率问题，何区间？利用 Halmos 测度论1221()()()xxHalmos 测度论PXPXx定义：设 X 为 ，称 ， ,为 X 分布函数，记vr()FxRvr )(xfFdRemark：（1）F（x）是 R 上实函数；（2） Real Analysis；vrfdP例 1解： 0,(),1,xaxax bb例 2 设 X 分布列为 vr 求 F（x）fdRemark（1）   ；()(1,2)kPx xkiPF(（2）反问题：已知离散型 X 的分布函数，可求其分布列。vr补充定理:已知 X 的分布函数 ，则有：vr)(x)(limaFaPtatX 0 1 2 3P 48-  -9例 3 设 X 为 并且 X 一切可能值 有vrfd2,1850,14,)(xxFvrk求 X 分布列。()0kPxvrF（x）满足：（1） ;fd )(xF（2） ;是 单 调 不 减 的（3） ;0)(-1;)(（4）     反之，亦有。上 右 连 续 的 函 数 。是 RxF例 4 设 X    求 A,B=？vrfd0,0,2)(3xeBA3.4 连续型 X例 1 （上节例 1） 定义   其 它,01)(bxabxf定义.设随机变数 X ，其   vr 满 足 ：若 存 在 一 个 非 负 的 函 数为 )(),(. xfFfd，xt)(Rx则称 X 为连续型 ，pdf f(x)rf(x)满足：（1）f(x) 0；（ 2） ；反之，也成立。1)(dxf（3） ；21(1xXxP)(12xF（4） 是 R 上 ；（ 5）若 f(x)在 点连续，则 ；)Ffc0 )(00xf（6） ；（7）f(x)在 点连续时，则 f(x)在此点函数值大小表0)(,xx明 在 点附近取值概率的大小。vXr.0-  -10例 2 设 Xpdf 为：   求（1） A=？；（2）F(x) ；（3）vr0,)(2xAexfP(1<X2) 。例 3 设 X pdf：   求  F(x)vr其 它,0212,)(xxf fd三个特殊分布：（1）均匀分布：（定义， ，几何概率） ；fd（2）指数分布：（定义， 背景） ；（3）正态分布：（背景、定义、图象、应用）分位数。例 4（测量问题刻化） 测量某一距离产生的随机误差 的概率密度为：)(mX；求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30 米的Rxexf ,021)(32)(概率。例 5 电子管使用寿命 XN（ 1600, ） ，若  求 范围；296.0)12(XP例 6 若 XN( ，求   k=1,0.6826,k=2,0.9544,k=3,0.9973。2,)u)(kuXP3.5 X 函数分布vr定义（背景：物理、数学、工程） fc一、离散型 X 函数的分布：r例 1 求 Y1=2X+1 和 Y2=(X-2)2 之分布；二、连续型 X 函数分布：vr两个方法：（1） 方法：Y=g(X)  FY(y)fdfcd用 X 表示 Y 之分布  )()(ygPyFYoru)(yfY（2）公式法：两个 Th1,Th2 简述之X 0 1 2 3 4 5P 69-  -11例 2 设 X 为连续型  pdf FX(x),Y=aX+b, ，则 Y 之 pdf ；vr 0aabyfyfXY1)(应用：XN（ ） ，Y=aX+b， ，则 Y 之 pdf fY(y)且 YN（a 。2, 2,)例 3 设 XN（0,1） ，Y=X 2，求 Y 之 pdf 0,0,21)(yeyfyY例 4 设 XU（0，1） ， （1）求 Y=eX 的 pdf ；()Yf（2）求    Yln2其 它,01)(eyypdfY 其 它,021)(yefY第四章  多维 及分布vr4.1 多维 定义，分布函数，边缘分布函数vr背景：整体刻划 分布之间关系定义 1：（n 维 ）n=2；vr定义 2：（二维 分布函数） ，几何意义  F(x,y)  F(x,y)满足：（1） ， （2） ， （3） ， fdf（4） ， （5）反之，亦成立；定义 3：（边缘分布函数） 。Remark：与 F（x,y）之间关系。f4.2 离散型 （X，Y）vr分布列（P ij） Pij 满足三条，反之，亦成立   Remark： xyijijP),(例 1 某袋有 10 件产品，其中 2 件一级品，7 级二级品，1 件次品，从中任取 3 件，X,Y 分别表示取到一级品，二级品个数，求（X,Y）分布列及联合分布列。例 2 将一硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的分布列及边缘分布列。4.3 连续型 （X,Y）vr定义 1：（二维连续型 定义，pdf ）),(yxf性质：（1） ；0),(yxf-  -12（2） ；1),(dxyf（3） 。GxdyfYXP),(,（4）若 处连续，则 ；,(),0yxf在 ),(),(0),(20yxfFyx定义 2：（边缘概率密度）例 1 设 （X,Y）pdf 为：vr其 它,00,),()(yxceyxfy例 2 设（X,Y）pdf 为： 其 它,020,1,3),(2yxyxyf求（1） ；（2） 。)765(1(YXP),(yfFd两个特殊分布：（1）二维均匀分布（有限区域 G） ；（2）二维正态：（X,Y）之 pdf 为 2121212221 )()()()1(exp),( yxxyxfRemark：（1） ； ；),(),(21NYX yx,（2） 表示 X 与 Y 相关系数；其中 ； 1,0,2121（3） （X 与 Y 独立） ；则称0),;,(),(NYX4.4 独立性vr意义：（X,Y）为二维 ， ， 是否独立？刻划联合分布与边vrRyx, ","yx缘分布联系。定义 1（ X 与 Y 独立）vr例 1 设（X，Y）   求 X 与 Y 是否独立？ 其 它,00,),1)(),(43yxeyxfFdyx（1） ；?c（2） ；)(,yfxYX（3） ；,xF（4） 。)10(P-  -13离散型 （X，Y）：X 与独立vr ji,jiP.连续型 （X，Y）：X 与独立 二元函数 亦为 （X，Y ）之 pdf )(yfxYXvr)(),(yfxyf例 2 设 （X，Y）分布列为：vr问（1） 必须满足什么？       （2）若 X 与 Y 独立？则 =？, ,例 3 设（X，Y）之 pdf 为：  问 X 与 Y 是否独立？其 它,00,1),(43yxeyxfy例 4 设（X，Y）之 pdf 为：  问 X 与 Y 是否独立？81(,),f其 它例 5设二维 为：fdvr, 2arctn2arctn, yCxBAyxF其中 A，B，C 为常数， ,求（1）A，B，C=？             （2） yfxyFxYXYX,（3）X 与 Y 独立吗？为什么？  （4） Pn 维 独立性概念类似),(1nXvr4.5（X，Y）函数分布问题提法：已知（X，Y）分布， 求 之，为 一 个 二 元 的 连 续 函 数),(yxgz ),(YXgZ分布1、和的分布：（1）离散型 和分布：vr例 1 设 X 与 Y 独立，Z=X+Y，求 Z 之分布；),(),(21PYX       Y 1 2 31 69182 3-  -14（2）连续型 和分布：已知（X ，Y ）pdf f(x,y)，Z=g(x,y)，求 Z 之 pdfvr分布函数法： zZ duXgPzzfFd )(),()() dyfxzfZ,()(若 则    卷积公式独 立 ，与 YXYXZzf)例 2 设 , ，X 与 Y 独立，求 Z=X+Y 之 pdf fZ(z)；10U(E例 3 XN（0，1） ，Y 与 X 独立同分布，Z=X+Y，求 Y 之 pdf fZ(z)    推广形式；2、瑞利分布（Rayleigh）：若 X，Y 独立且同分布， ，求 ，),0(2NX2YX0,0)(,2zezfZ3、max(X,Y)及 min(X,Y)之分布：提法：M=max(X,Y)，N=min(X,Y)，X,Y 之 FX(x),FY(y)且 X 与 Y 独立；求 M，N 之分fd布函数。 )(1)()(,)( zzFzNYXM 推广到 n 维情形。例 4 设电子仪器由两个相互独立的电子管装置 及 组成，方式有两种：1L2（a） , 串联；（b） , 并联， , 寿命分别在 ，1L21L22fdYX,0,0)(xexFX其中 试在两种方式下，分别求出仪器寿命 Zpdf。,1)(yyY0,例 5 设二维 （X,Y）在 上服从均匀分布，试求边长为vr1,2),(yxYXGX 和 Y 的矩形面积 S pdf f(s)。4.6 条件分布条件分布列;  条件概率密度例 1设 在 D 上服从二维均匀分布问：,?XYfxfyY并 求 其 条 件 分 布 ;问 X与是否独立？yx 1  2y=x y=2-x-  -15其 它,0212,xxfX 其 它,012yyfY例 2 ？2,01,2,3xyyfxy已 知 ， 求 其 条 件 分 布 ， 问 X与 Y独 立 吗其 它其 它,0,132xxfX 其 它,02613yyfY； 20,6|,10| xyyfXY1,2,21xfyyz其它，均为 0例 3已知  pdfYX,yx, 其 它,0yxey求（1）  ， （2） 的条件概率密其 它,0exfxX0,yefY ,XY度且问 与 Y 是否独立？vr例 4.某袋中有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取两件，令 表示第分 别与 Y一次和第二次取到次品的个数，求（1） （2）已知的 分 布 列 ；),(YX(3)已知 。的 条 件 分 布 列 ；条 件 下 ，（ YX)0 的 条 件 分 布 列条 件 下 ，（ X1例 5.  设随机变量 的概率YiPX ),10(3)(的 概 率 分 布 为相 互 独 立 ，与密度为 记 （1）求 （2）求其 他,0,1)(yfY .YXZ;Z.zfZZ的 概 率 密 度第五章    随机变量的数字特征-  -16意义与作用：（1） ， （2） ， （3）5.1 数学期望一、定义：1离散型 期望之定义：定义 1；vr2连续型 期望之定义：定义 2；例 1 ，求 ；  例 2 ，求 ；),(pBX)(EX),(pnBnpEX例 3 ，求 ； 例 4 ，求 ；PbaU2ba例 5 ，求 ；例 6 ，求 ；)(1),(2uNu例 7 取卡片例子。二、 函数期望：Th5.1  Th5.2vr例 1 ，求 ， ；),(2uNXXEXa例 2 设在国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是 X（吨） ，它在2000，4000 上vr服从均匀分布，每售一吨挣外汇 3 万元，若囤积一吨，需浪费保管费 1 万元，问需组织多少货源，才能使国家收益最大？例 3 上均匀分布，求 EX，E（-3X+2Y） ，EXY。)(,(AUYX例 4 设 X，Y 独立同分布，XU0，2，求 。)3/4(,max);3/2(,inYXEYX三、 期望性质：（1）EC=C；（2）ECX=CEX ；（3） ；vr nii11（4）若 相互独立，则 。nX,1 iniEXEX11例 1 .XB（n,p） ，求 ；)(1iiE例 2 r 个人底层，楼层 n 层， X电梯停次数，求 EX，r=10，n=10，EX=6.5；例 3 X,Y 独立， 求。5,0)(,02)( )5(yeyfxxf YX其 它5.2 方差期望定义意义与不足： 2, rREXEr定义：（DX） ，均方差，标准差： D方差性质：（1）DC=0 ；（2）D(CX)=C 2DX，C 为常数；（-1/3，   1/3，    1/12）-  -17（3）DX=EX 2-(EX)2；（4）X 1,Xn独立，则 ；niiniiDX11（5） 常数 a 使 。0D)(P例 1 X（0,1） ，求 DX=pq；例 2 XB（n,p） ，求 DX（npq）(两种方法) ；例 3 XP ，求 DX= ；例 4 XU（a,b） ，求 ；补充一个结论。)( 2)(1abDX例 5 XE ，求 ；例 6 ，求 ；)(2DX),(2uN2例 7 在长为 线段上，任取两点，求两点间距离期望与方差；例 8 设 X,Y 是两个独立同分布 ， ，求vr 21,0NX21,YXDE5.3 协方差与相关系数协方差引入：逆否命题定义 1（cov(X,Y)） ，5 条性质不足与意义（1）其大小依赖于计量单位；（2）它与 X,Y 取值有关，也与 X,Y 和其自身期望的偏差有关，难以精确刻划X,Y 关系。定义 2（相关系数 ）DYX),cov(Th1 满足  （1） ；（2） 使 。ba,11)(bXYP定义 3（不相关）若 =0，则称 X 与 Y 不相关Th2 与下面一条件等价（1）cov(X,Y)=0；（2）D(X Y)=DX+DY；0 Remark：(1)若 X 与 Y 独立可推出 X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相关也的 方 差 存 在 ，与 YX推不出（见下面的反例） 。特别：当 X 与 Y 独立二维正态变量（X，Y）时或者均为二值随机变量时，X 与 Y 独立0（2） 表明 X 与 Y 无线性依赖关系，但有别的函数关系；-  -18反例 XN（0,1） ，Y=X 2，则 而 且 X 与 Y 不独立；0XY2定义 4（k 阶原点矩，中心矩）例 1 设 X1,X2,X3 为三个两两不相立的 ，)3,1(,iEvri )3,21(iDi求 ；321321, X1,例 2 设 X,Y,Z 为三个 ，且vrEX=EY=1，EZ=1，DX=DY=DZ=1 ， ， ，若 W=X+Y+Z，21,0XZYYZ求 EW， DW（1，3） ；例 3 某箱中装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别有 80，10，10 件从中随机取一件，记 （i=1,2,3）其 它 等 品若 抽 到,0iXi求（1） （X 1，X 2）联合分布，边缘分布；（2） ；)3/2(1X例 4 已知 XN（1，3 2） ，YN（0，4 2） ，且 ，设 ，Y2YZ求（1）DZ，EZ ；（2） 。,)(XZ5.4 大数定律引言：事件频率稳定性可处理为大量随机现象的平均结果。在概率论中，这类平均结果的稳定性有关结论，统称为大数定律。例 1 分析天平 ；（2） 。niPiuX1 niDinAPXAf1)()(1、切此晓夫不等式：Th1 对 ，若方差 DX 存在，则对 有：vr 0or 成立。DEP2)(EP2)(Remark：钥匙；粗略估计；例 1 给定 ，利用切氏不等式估计 ；09.,.)(XX )3.0(例 2 若 DX=0.004，利用切氏不等式估计概率 。)2.0(X2、大数定律：Th2（贝努里大数定律）定义 )(序 列独 立 vrXnTh3 （切此晓夫大数定律） 称满足（I） ， （II ） ， 服从大数定律。nX-  -19推论：（独立同分布 序列， ）vr 2,iiDXuETh4 （Khinchine 大数定律）设 独立同分布 序列，具有有限期望nvr),21(iuEXi则对 有0 1)1(lim0)(lim1 niinniin uXPoruXP5.5 中心极限 Th独立 和 的极限分布问题。正态分布地位与作用中心极限 Th 及条件vrnii1Th1（独立同分布的中心极限 Th）Lindberg Levy 近似Th2（De   MoirveLaplace）近似推论 1：n 充分大时 12pqnpnYP推论 2：n 充分大时 ；nanban)(例 1 独立同分布，X iP(0.03)， ，用中心极限 Th，计算 P（Z3）)50,(i 501iiXZ（0.1103） ；例 2 重复掷硬币 n=100 次，设每次出现正反概率各为 ，求  Yn 为正2?)605(nP面次数。例 3.辛钦大数定理应用的例子。例 4. LindbergLevy 的例子：设 相互独立， ，则据 Lindeberg-vrnX,1 niiXS1Levy中心极限 ，当 充分大时， 近似服从正态分布，只要 （       ） （C）ThnnSn,1（A）有相同数学期望；  （ B）有相同方差；（C）服从同指数分布；  （ D）服从同一离散型分布。第六章 数理统计的基本概念61 总体.与样本、统计量-  -20一、基本问题：概率论中问题的讨论，常常从已给的 X 出发研究 X 的种种性质，vrvr这进而事先假设 X 的分布，数字特征已知。但在实际问题中，人们事先并不知道事件vr概率， X 的概率分布和数字特征，对它们进行估计与推断构成数理统计的基本问题。数理统计例 1 从 2000 个产品中随机地抽检一个产品，结果可能合格，也可能不合格，X 表示合格品个数， （X=1 ）合格；（ X=0） 不合格；但是 p=？事先未知即B(1,p)未定。问题：怎样求出或近似求出 P 值？若人们根据以往生产经验，提出假设：“H0:P=0.65”，那么，是同意这个假设还是否定这个假设呢？应该用什么方法检验？（U-检验,x 2-检验，t检验，F-检验） 。统计的基本手法（统计推断）：从总体中随机抽取一小部分进行观察（or 试验） ，然后用观察得到的资料（or 数据）为出发点，以概率论的理论为基础对上述问题进行估计或推断？称之为统计推断。二、三个基本概念：1、总体：它是一个概率分布 or 服从某个概论分布的 X 有限总体，无限总体。正态总vr体。2、样本：从总体 X 中随机抽检 n 个个体，则得 X 的一组观察值 ，称此 E 为随机nx,1抽样，简称抽样。n 为样本容量。若离开特定的某次抽样即将抽样结果一般化，则抽得结果为 n 个 ，称vr这 n 个 为来自总体 X 的一个容量为 n 样本 or（ ）为来自总体 Xvrn,1 X,1的样本。n 维 （）之分布 为样本的分布，对应样本值（ ）为样本点， ),(1nxfFd nx,1样本点之全体，称之为样本空间。简单随机样本3、统计量：定义（三个定语）例：构造统计量与非统计量，总体 已知22),(，uNX未 知； ；niiuXf121/)(),( 1ifX 0 1P 1-p p试验设计（研究怎样抽样）统计推断：估计问题与假设检验问（未知参数，概率分布 or 已知概率分布） 为相互独立；nX,1 与总体 X 同分布。),(i-  -21； ；213niiXf niiuXf124)(几个重要统计量：样本均值：      样本方差：          k 阶原点矩（A k）      样本二阶中心矩2Sk 阶中心矩（B k）         S*2顺序统计量：最小（大）顺序统计量：X (1),(X(n)样本中位数： 为 偶 数为 奇 数nXMnn,21,12经验分布函数：6.2 三大分布 （x 2-分布，t-分布，F-分布）抽样分布 Th一、三大分布：1X 2-分布：定义X2 变量性质：若 x2x2(n)，则有：（1）Ex 2=n,Dx2=2n；（2）x 2-分布之可加性；（3）n 很大时， )45()1,0),(22 nNnxorN（4）x 2(n)上侧分位数。2t-分布：定义（1）T 变量 pdf f(t)曲线近假标准正态 pdf曲线（n30） ；（2）T 分布上侧 -分位数。yx0)(2nP(t)t0-  -22),(21nF3F-分布：定义 （1）F(n 1,n2)上侧 -分位数；（2） -分位数性质： ；),(1),(122nFn例： ,8,05.21n)8(05. 35.08.)(95.0F二、抽样分布：前提总体为正态总体， （ ）为来自正态总体 X 的简单随机样本。nX,1Theorem1（样本均值分布）设 为总体 一个样本，则 ，nX,1 ),(2uN),(2nuN推论： 。),0(NnuXTh2（样本方差）设 为总体 一个样本，则样本方差 S2 与 独立，且nX,1 ),(2uX（略） 。2)()1(22xSnTh3 设 为总体 一个样本， 与 S2 分别为样本均值和方差，则：nX,1 ),(uNX。2),(StxuTh4 设 和 分别是来自总体 和 ，它们相互独立，11,n 2,nY ),(21uN),(2则： 其中 ， 分别为)()(121tSuYXW 1212nssSW21,两个样本的方差（利用 Th1,x2-可加性 Th2，t-分布定义） 。Th5 设 和 分别是总体 和 两个样本，它们相互11,nX 2,nY ),(21uN),(2独立，则：-  -23，其中 分别是两个样本方差（利用 Th2）)1,(2121nFS21,S例 1、设 X1,X2,X3,X4 是来自 N(0,4)的简单的随机样本，求常数 a,b 使得 Xx2(2)。2432)()(Xba例 2、设 是分布 容量为 n+m 的样本，求下列统计量之mnn,11 ),0(N概率分布：（1） ；    （2） ；)(21tnXYmiiii ),(12mnFnXYmiinii例 3设 是来自 的样本， ，1,nX ),(2NiiX1，求统计量 ；niiS122)( )(*1ntSXTn例 4设总体 中抽取一容量为 16 的样本， 均未知，,2N2,（1）求 ；（2） ；041.2SP2DS例 5 已知 , 求 服从何分布。)(ntT第七章  参数估计总体分布类型已知或未知条件下，怎样用样本估计参数与特征。两类：点估计和区间估计7.1 点估计估计量： 统计量；估计值；估计量与估计值：估计  点估计。一、矩估计：定义：点估计时，若可把未知参数 用总体矩 函数表),1(mkEXk示为 ，则可用样本矩 估计总体矩 ，进而用),(1mhnikikXa1 ,k-  -24样本矩的函数 作为未知参数 的估计。),(1mah二、极大似然估计：（MLE）1离散总体：似然函数 。orLnxXPxLiinimn )(),;,(111 连续总体： xfx miin ,;(),;,(111 2求偏导 or 定义方式：  ，解之得：0iL),(i),(,11nmxor 利用定义得之：例 1 设总体 X 均值 和方差 未知，求 矩估计；Eu2DX2,例 2 设总体 为来自总体 X 一个样本，nxPN,),(1求未知参数 N,P 矩估计 s)(2例 3 设总体 ， 为其子样，求 的极大似然估计 ；)(PXnx,1 )(x例 4 设总体 ， 未知，求 的最大似然估计 ；,2uN2,2,u2*Su例 5 已知总体 ， 是取自 X 的一个样本，求 的矩估计和极大,21Unx,1 21,似然估计， （1） ；（2） 。sx32)(21nx三、鉴定估计量标准：三条（无偏性、有效性和一致性）定义 1（无偏性）：设 为 之估计量，若 ，则称 为 ，表明),(1nXE（1） 围绕 摆动， ，用 估计 时无系统误差；0)E（2）N 很大时 大数定律。(Pin例 1 总体 为 X 一个样本则 是nkkEXuDXu ,),21(, 122S无偏估计， 是 有偏估计， 是 u 之无偏估计， 无偏估计；2*Sxku是-  -25例 2 设 ， 是来自 X 一个样本， ，求 k=？),(2uNXnX,1 niiX1是 无偏估计， 。niik1 )(k定义 2 （有效性）设 与 均 之无偏估计若对 可,(1nX),(1'' nX能值 都有： 且至少对某个参数 使小于号成立，则称 较 有效。)('D0'目的：选择较集中估计量。例 3 若取 niniCXx11)(,证明： , 均为 无偏且 较 有效。    Cauch- njninii bab121221Shwarz )(1 21212 DXCnDXnXCDiiini 较 有效。 。,  比 Xi 有效。)(0,jji 定义 3 （相合性）称估计量 是未知参数 的相合（一致）估计量，),(1nn若 ，即对 有： 。Pn00limxPRemark：（1） 是 ， ， 是 相合估计；k2S2（2）若 为 n 元 ，