四（5讲）页码问题（师）.doc

6（四年级奥数）页码问题 第5讲 页码问题 页码问题主要是指一本书的页数与所用所用的数字之间关系的一类应用题。数字也称为数码，它的个数是有限的，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数码（在十进制中）。 页码也可称为页数，它是由数字码组成的，一个数字组成一位数，两个数字组成两位数（个位、十位）页数的个数是无限的。这是我们在解决这类问题时，在审题、解题中要特别加以区别的。例1.小明和小智是两个数学爱好者，他们经常在一起探讨数学。一次，小明对小智说：“我有一本课外读物，它的页数是一个三位数，个位数字比百位数字大4，十位数字比个位数字也大4，这本课外读物有几页？”小智稍加思索就得出了正确答案，这个答案究竟是什么呢？答案：195例2.一本科幻小说共320页。问编印这本科幻小说共用了多少个数字？数字0在页码中共出现了所少次？解：（1）从1到320可分为一位数、两位数、三位数。一位数：19页，有9个数，共9个数字两位数：1099页，有99-10+1=90个数，共用902=180个数字三位数：100到320页，共有320-100+1=221个数，共用了2213=663个数字。所以，这本科幻书共用了9+180+663=852（个）数字（2）页码1-10间，只有1个0(也即页码10)出现 ；页码11-100间，20、30、4090逢10的倍数会出现一个0,100页上有2个0，共有10个0 ；页码101-110间，每个页码都有一个0，共有10个0 ；页码为111-200的情况与11-100间一样，也是10个0 ；页码为201-300间的情况与101-200间情况一样，有20个0 ；页码为301-310间与101-110间一样，每个页码都有一个0，共有10个0； 页码为311-320间只有1个0。 10611=62（个）【随堂练习】 数学课本共有131页。在这本书的页码中：共用了多少数字？数字1在页码中共出现了几次？131（990）=32（页) 19+290332=285(页）数字1出现作为个位数14次（1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101,111,121,131）；数字1出现作为十位数共20次（10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,115,116,117，118,119）；数字1出现作为百位数共32次（100-131）；142032=66（次）例3.给一本书编页码，一共用了723个数字，这本书共有多少页？19页，每页用1个数字，共199（个 ）1099页，每页用2个数字，共290180（个 ）还剩下7239180534（个）数字 3个数字的共 5343178（页)这本书有: 178990277(页)【随堂练习】 排一本学生词典的页码共用了2925个数字，这本词典共有多少页？一位数9页, 两位数99-10+1=90页， 三位数999-100+1=900页， 以上一共用数字9*1+90*2+900*3=2889（个）， 剩下的从1000开始，每页用4个数字，共 (2925 - 2889) 4 = 9 （页）， 1000+9-1=1008（页）例4.一本书的页码共有62页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码多加了一次，得到的和数为2000,问：这个被多加一次的页码是多少？分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为12616262(621)231631953由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是2000195347例5.有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？来源：小精灵儿童资讯站分析与解：48页书的所有页码数之和为124848（481）21176(页）按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176113145。这两个页码应该是22页和23页。但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的。【随堂练习】 一本书的页码从1到80，共80页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果得到的和为3182。问：这个被漏加的页码是多少？（1+80）802=3240 3240-3182=58页）例6.一本书的页码共用了39个零。问：这本书共有多少页？解：10，20，100 共有11个0；101到109 有9个0；110，120，200 共有11个0；现在共有31个0，再加上8个0，也就是从201加到208就行了；所以最后答案是208页。【随堂练习】 排一本书，它的页码中共出现了71个零，问这本书共有多少页？ 解：1100是11个零；101110是10个零；120200是10个零；201210是10个零；220300是10个零；301310是10个零；320400是10个零；10611=71（个） 所以这本书一共有400页。综合练习：1.一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？解：一位数：19共用数字19=9（个）；两位数：1099共用数字290=180（个）；三位数：100999共用数字3900=2700（个），所以所求页数不超过999页， 三位数共有：（2355-9-180）3=21663=722（个），本书有722+99=821（页）2.上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？（情况一：这是大多数）解：如果上、下册都是从1开始编码的，应该这样做：一位数有9个数字，两位数有180个数字，所以上、下册都超过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为35=15，上册有（687+15）2=351（个）数字，（351-9180）3=54（页），54+99=153（页）（情况二）解：如果上、下册编码是连续的，应该这样做： 一位数页码共9页，共用数字：919（个）； 两位数页码共90页，共用数字：290180（个）； 编排三位数页码的数字：6879180498（个）， 共有4983166（页）。 上、下册共有166909265（页） 上册书页数：（2655）2135（页）3.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。解：最小的和1234515， 最大的和67891040这样总共有40-15+1=26个不同的和，从15,16,.,40选数组“队”，共13对（15，40），(16,39),.(27,28)，一共有13个不同的乘积，分别是：15x40=600；16x39=624；17x38=646；18x37=666；19x36=684；20x35=700；21x34=714；22x33=726；23x32=736；24x31=744；25x30=750；26x29=754；27x28=7564、有一本90页的书被人撕掉一张，结果书上页码加起来和是4012,。请问撕掉的是哪一张？1+2+904012=83，（831）2=41，所以，页码是41和42的这张纸。5、小数A=0.123 456 789 101 112 131 4，在小数点后面第2010位上的数字是几？解：一位数共9位，两位数290=180（位），剩下 2010 - 9 - 180 = 1821位，1821 3 = 607，写下了607个三位数，即从100到706写完。因此第2010位是66、 一本书共204页，需多少个数码编页码？分析与解：19页每页上的页码是一位数，共需数码199(个)；1099页每页上的页码是两位数，共需数码290180(个)；100204页每页上的页码是三位数，共需数码(2041001)31053315(个)综上所述，这本书共需数码9180315504(个)7、一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码问：这本书共有多少页？分析：因所以这本书有几百页由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211189)个，所以三位数的页数有 (2211189)3674(页)因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99674773(页)解：99(2211189)3773(页)答：这本书共有773页8、 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112问：左起第2000位上的数字是多少？分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000189)36032，所以2000个数码排到第996031703(页)的第2个数码“0”所以本题的第2000位数是09、 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？分析与解：将1400分为四组：1100，101200，201300，301400在1100中共出现11次0，其余各组每组都比1100多出现9次0，即每组出现20次0所以共需要71个数码“0”。10、有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?解：假设可能得到偶数，那么计算如下：如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+.+96=4656。由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述：不可能得到偶数。11、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112问：左起第1000位上的数字是多少？解：19页每页上的页码是一位数，共需数码19=9（个）；1099页每页上的页码是两位数，共需数码290180（个）； 因为(1000189)32701，所以1000个数码排到第：992701370(个)数的第1个数码“3”所以本题的第1000位数是3。12、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第