利用空间向量证明平行、

3 2 2利用空间向量证明平行 垂直关系 自学导引 学生用书P80 会用空间向量证明线与线 线与面 面与面之间的平行 垂直关系 掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 课前热身 学生用书P80 1 空间中的平行关系主要有 空间中的垂直关系主要有 2 证明两条直线平行 只要证明这两条直线的方向向量是 即可 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 共线向量 3 证明线面平行的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量 2 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 3 利用共面向量的定理 即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是 垂直 共线 共面向量 4 证明面面平行的方法 1 转化为 处理 2 证明这两个平面的法向量是 5 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 6 证明线面垂直的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量是 2 证明直线与平面内的 线线平行 线面平行 共线向量 互相垂直 共线向量 两条不共线向量互相垂直 7 证明面面垂直的方法 1 转化为 2 证明两个平面的法向量 线线垂直 线面垂直 互相垂直 名师讲解 学生用书P80 1 利用空间向量证明线与面平行 只要在平面 内找到一条直线的方向向量为b 已知直线的方向向量为a 问题转化为证明a b即可 2 利用空间向量证明两条异面直线垂直 在两条异面直线上各取一个向量a b 只要证明a b 即a b 0即可 3 证明线面垂直 直线l 平面 要让l 只要在l上取一个非零向量p 在 内取两个不共线的向量a b 问题转化为证明p a且p b 也就是a p 0且b p 0 4 证明面面平行 面面垂直 最终都要转化为证明线线平行 线线垂直 典例剖析 学生用书P80 题型一证明线面平行例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 分析 分析1 如下图 易知MN DA1因此得方法1 变式训练1 ABCD A1B1C1D1是正四棱柱 侧棱长为3 底面边长为2 E是棱BC的中点 求证 BD1 平面C1DE 证明 以D为坐标原点 以DA DC DD1为坐标轴建系如右图 则B 2 2 0 D1 0 0 3 E 1 2 0 C1 0 2 3 题型二证明线面垂直例2 如下图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 D1B1的中点 求证 EF 平面B1AC 分析 转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行 证明 方法1 设A1B1的中点为G 连结EG FG A1B 则FG A1D1 EG A1B A1D1 平面A1B FG 平面A1B AB1 平面A1B FG AB1 A1B AB1 EG AB1 EF AB1 同理EF B1C 又AB1 B1C B1 EF 平面B1AC 方法3 设正方体的棱长为2 建立如下图所示的空间直角坐标系 规律技巧 1 方法1是传统的几何法证明 利用线面垂直的性质及判定 需添加辅助线 方法2选基底 将相关向量用基底表示出来 然后利用向量的计算来证明 方法3建立空间直角坐标系 利用向量 且将向量的运算转化为实数 坐标 的运算 以达到证明的目的 2 几何的综合推理有时技巧性较强 而向量代数运算属程序化操作 规律性较强 但有时运算量大 两种处理方法各有优点 不能偏废 分析 由判定定理 只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可 或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行 证明 方法1 如下图 分别以AB AD AP所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 1 题型三证明面与面垂直例3 三棱柱ABC A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱 D是侧棱CC1的中点 求证 平面AB1D 平面ABB1A1 分析 转化为线线垂直 线面垂直或者利用法向量垂直 证明 方法1 取AB的中点E 三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 CE AB且AA1 CE 得CE 面ABB1A1 另取AB1中点M 得MD CE MD 面ABB1A1 又 MD 面AB1D 面AB1D 面ABB1A1 方法3 建系如下图 正三棱柱底面边长为a 高为a 取AB1的中点M 则相关点的坐标如下 规律技巧 证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径 传统方法考查逻辑思维能力较多 常需作辅助线解决 思维量大 向量法思维量小 但有时运算量较大 特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系 建系不当 会人为增加计算的难度 变式训练3 如图所示 在六面体ABCD A1B1C1D1中 四边形ABCD是边长为2的正方形 四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形 DD1 平面A1B1C1D1 DD1 平面ABCD DD1 2 1 求证 A1C1与AC共面 B1D1与BD共面 2 求证 平面A1ACC1 平面B1BDD1 证明 以D为原点 以DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系D xyz 如图所示 则有D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 A1 1 0 2 B1 1 1 2 C1 0 1 2 D1 0 0 2 技能演练 学生用书P82 基础强化1 在空间直角坐标系中 平面xOz的一个法向量是 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 0 1 1 答案 B 2 平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 与平面 的关系是 A 平行B 相交但不垂直C 相交且垂直D 无法判定 答案 C 3 在空间四边形ABCD中 E F分别是AB BC的中点 则AC与平面DEF的位置关系是 A 平行B 相交C 在平面内D 不能确定 答案 A 解析 如图所示 易知EF AC 又AC 平面DEF EF 平面DEF AC 平面DEF 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 若E为A1C1的中点 则直线CE垂直于 A ACB BDC A1DD A1A 答案 B 解析 如图 B1D1 CC1 B1D1 A1C1 又CC1 A1C1 C1 B1D1 平面AA1C1C 而CE 平面AA1C1C B1D1 CE 又B1D1 BD CE BD 5 平面ABC中 A 0 1 1 B 1 2 1 C 1 0 1 若a 1 y z 且a为平面ABC的法向量 则y2等于 A 2B 0C 1D 无意义 答案 C 6 若直线l的方向向量a 2 3 1 平面 的一个法向量n 4 0 8 则直线l与平面 的位置关系是 解析 a 5n 2 4 3 0 8 1 0 a n l 或l 答案 l 或l 能力提升7 在正方体AC1中 O M分别是DB1 D1C1的中点 证明 OM BC1 证明 如图 以D为原点 分别以DA DC DD1为x y z轴建立空间直角坐标系D xyz 8 在棱长为a的正方体OABC O1A1B1C1中 E F分别是AB BC上的动点 且AE BF 求证 A1F C1E 证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则A1 a 0 a C1 0 a a 设AE BF x E a x 0 F a x a 0 9 如右图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别是A1D1 D1