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高中数学知识要点第一章集合与简易逻辑第一节：集合：1、集合的基本概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，如果a是集合A的元素，就说a属于A记作aA，如果a不是集合A的元素就说a不属于A，记作aA或aA。2、集合中元素的三个性质：确定性，互异性，无序性。常称此为集合的三要素。3、常用的数集的符号：（1）自然数集（即非负整数集）：N，（2）正整数集：N，或N，（3）整数集合：Z，（4）有理数集：Q，（5）实数集：R。4、不含任何元素的集合叫空集，记作：, 只含一个元素的集合叫做单元素集。5、集合的分类：根据集合中元素的多少分为无限集，有限集，空集。6、集合的表示方法：（1）列举法：在里将元素一一列出。（2）描述法：常有两种方式：如四边形x|x是四边形注：下面表示不妥实数集、所有实数（3）图示法（韦恩法）：用封闭的曲线表示。第二节：子集，全集，补集：1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），也可记为BA，此时说A是B的子集，任何一个集合是它本身的一个子集，即AA。规定空集是任何集合的子集，即A，如果AB，且BA，则AB。如果AB且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作空集是任何非空集合的真子集。2、含n个元素的集合A的子集有2个，非空子集有21个，非空真子集有22个。3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合称为全集，通常用U表示。4、补集（也叫余集）：设S是一个集合，A是S的一个子集，则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作CA第三节：交集、并集：1、交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，读作A交B。即ABx|xA且xB2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，读作A并B。即ABx|xA或xB3、重要性质：（1）AAA，AAA，A，AA， A，AU（2）ABA，ABB，AAB，BAB，（3）（AB）（A）（B），（AB）（A）（B）（4）ABAAB，ABA BA第四节：含绝对值不等式的解法：1、三个结论（1）|x|a的解集为x|axa(2) |x|a的解集为x|xa或x-a(3)0a|x|b的解集为x|bx-a,axb2、去掉多个绝对值符号的常用方法有：（1）分段讨论法（2）利用绝对值的定义（3）数形结合或利用公式|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|，第五节：不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若a0,则x;若a0,则x;2、一元二次不等式的解法：设a0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且xx，一元二次不等式的解集如下表：判别式的符号ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c00xxx或x xx x x或 x xx x x xx x x x0x x-Rx x=-0RR3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。4、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。5、 对含字母的不等式要注意进行讨论，而且讨论要合理，分类要恰当，层次要清楚。第六节：逻辑联结词：1、逻辑联结词与命题、命题的分类：“或”“且”“非”这些词叫逻辑联结词。判断一件事情的语句叫命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题。2、复合命题的形式及真值表：（1）“非P”的复合命题的真假与命题“P”的真假相反。（2）“P且Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为真时才为真，否则为假，（3）“P或Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为假时才为假，否则为真。第七节：四种命题：1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p或q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若p 则q ，（4）逆否命题：若q 则p，2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。互为逆否互否互否互逆逆命题；原命题3、四种命题的相互关系：互逆逆否命题否命题4、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立，（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。常见情况的反设：原结论是（一定是）都是（全是）（）至少有一个至多有一个存在反设不是（一定不是）不都是（）一个也没有（都不是）至少有2个不存在反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。5、要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。第八节：充分条件与必要条件：1、一般地，如果已知pq,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q,q的一个充分条件是P。2、如果既有pq又有qp，记作pq,这时p是q的充分必要条件，简称为充要条件。第二章函数第一节：函数：1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：AB，2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。3、映射f：AB的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：xy是从A到B的城市污染，那么，从A到B的f：AB，叫做A到B的函数，y=f(x),其中xA,yB,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CB5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。6、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是xM,g(x) 的定义域是xN，求y=fg(x)的定义域时，则只需求满足的x的集合。设y=fg(x)的定义域为P，则PN。7、求函数值域的方法：（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如的函数。（2）利用函数的图象即数形结合的方法。（3）利用均值不等式，（4）利用判别式，（5）利用换元法（如三角换元），（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式，（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）第二节：函数的表示方法：1、函数的表示方法：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系式。（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。2、分段函数在其定义域的不同子集上，其对应关系分别用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。3、求函数解析式的常用方法有：（1）待定系数法：如果已知一个函数的类型如一次函数：可设y=kx+b，二次函数：可设y=ax+bx+c。（2）换元法：如已知f(2x+1)=4x+1，求f(x)的解析式？（3）替换后解方程组。第三节：函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,xD,当xx时，都有f(x) f(x)，则称f(x)是区间上的增函数，当x f(x)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。2、判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法，（1）定义法：其步骤是：1）任取x，xD，且x0时，f(x)在R上是增函数。2）当ko时，函数f(x)的图象开口向上，在（，）上是减函数，在，）上是增函数，2) 当a0时，f(x)在（，0）与（0，）上都是减函数，2) 当k1,nN)那么这个数叫做a的n次方根，即x=a,则x叫做a的n次方根(n1,nN)。2、n次方根的性质：（1）0的n次方根是0。即0(n1,nN)，（2）a(nN)(3)当n为奇数时，a, 当n为偶数时, |a|3、分数指数幂的定义：（1）（2），（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。4、幂的运算性质：（1）（3），若a0,P是一个无理数，则a表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。第六节：指数函数：1、定义：形如y=a（a0,且a1）的函数叫做指数函数。2、指数函数y=a（a0,且a1）的图象和性质：a1 0a0,a1)的函数叫做对数函数。2、对数函数的图象与性质：a1 0a0,a1)与指数函数y=a (a0,a1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类： 1）同底且大于1，真数大的对数大。2）同底且小于1，真数大的对数小。3）同真数且大于1，在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1，在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。第九节：函数的应用：1、数学应用题的文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此，在解答数学应用题时要把握好两点：（1）认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象，概括，将实际问题转化为相应的数学问题，（2）要合理选择变量，设定变量后，寻找各量之间的内存联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数，方程等数学模型，从而使实际问题获得解决。2、常见的函数模型有：（1）建立一次函数或二次函数模型，（2）建立分段函数模型。（3）建立指数函数模型。（4）建立型。第三章数列第一节：数列的有关概念：1、定义：按一定次序排成的一列数，记作：a, a表示这个数列的第n项。如果数列a的第n项a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式，从函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2、并不是每个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式也可能有多种形式。3、数列的图象是一群孤立的点。4、按数列的项是有限还是无限，可将数列分为有穷数列和无穷数列，按数列的项与项之间的关系，可将数列分为递增数列，递减数列，摆动数列，常数列等。5、如果已知数列a的第一项（或前几项），且任一项a与它的前一项a(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。递推公式是给出数列的一种方法。6、求数列通项公式的几种常用方法：（1）观察法：通过观察数列的某些项，找出数列的项与项数之间的等量关系，求出数列的任一项。（2）公式法：对于数列a，记Sa+a+a，则称S为数列a的前n项的和，（3）递推法：用递推公式求a。（4）逐差法：从某些数列的前面若干项，逐次求出它们的差数列（后项减前项），最后得到一个等差或等比数列，再由此倒推回去求出原数列的通项公式。第二节：等差数列：1、等差数列的定义：a-a=d(常数)， nN*.2、等数列的通项公式：a=a+(n-1)d, nN*, a=dn+ a-d,d0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d. a=kn+b(k0 ) a为等差数列，反之不能。3、等差中项：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。4、等差数列的性质：（1）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项相等，并且等于首末两项之和。（3）m, nN*，则aa+(m-n)d.(4)若s,t,p,qN*,且s+t=p+q,则a+a=a+a，其中a，a，a，a是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,有a+a=2a。（5）若数列a,b均是等差数列，则数列ma+kb仍为等差数列，其中m,k均为常数。5、证明一个数列是等差数列，只需证明a-a是一个与n无关的常数即可。第三节：等差数列的前n项和：1、等差数列的前n项和的公式：当d0时，是关于n的二次函数且常数项为0， a 为等差数列，反之不能。2、等差数列中，已知5个 元素：a ，a ，n,d, S 中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,，偶数个成等差，可设为，a-3d,a-d,a+d,a+3d,3、等差数列的前n项和的有关性质：（1） ，成等差数列。（2）1)a 有2k项时， kd, 2)a 有2k+1项时，S =(k+1)a =(k+1)a , S =k a =k a , S ：S =(k+1)：kS S a = a 4、等差数列a 中，（1）若a =q,a =p，则列方程组可得：d=1, a =p+q-1,a =0,S =-(p+q)(2)当S S 时（pq），数形结合分析可得S 中S 最大，S 0。此时公差d0，q1，则a为递增数列,2) a1, 则a为递减数列,3) a0,0q1,则a为递减数列,4) a0, 0q1, 则a为递增数列,5)q0）或向右（0）或向下（k0时，的方向与的方向相同，当0，当P点在线段 PP的延长线上时，1，当P点在线段PP的延长线上时 1b ,cbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘但不能相除；异向不等式可以相除但不能相乘：ab0cd0 (ab, cbd（或）（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ab0则ab或（4）ab0,则ab,(abb)2、 不等式大小比较的常用技巧（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法（4）平方法（5）分子（或分母）有理化（6）利用函数的单调性（7）判别式法（8）寻找中间量或放缩法 (9)图象法第二节：算术平均数与几何平均数：1、常用公式及变形：两个基本的不等式及其变形：（1）（2）（3）2、对于两个正数x,y，若已知xy,x+y,中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xyP（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，（2）x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有最大值（3）已知x+y=p,则x+y有最大值为3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”第三节 不等式的证明：1、比较法：（1）求差比较法：要证ab,只要证a-b0，（2）求商比较法：要证ab，且b0,只要证1.比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。2、综合法：利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。3、分析法：（1）从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因。（2）用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真最后得出A或已知的性质、公理、定理。从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCDA或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCDA。4、 放缩法（如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩）5、 利用函数的单调性，6、 反证法7、 换元法8、 判别式法第四节 不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若a0,则x;若a0,则x;2、一元二次不等式的解法：设a0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且xx，一元二次不等式的解集如下表：判别式的符号Y= ax+bx+c的图象ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c00xxx或x xx x x或 x xx x x xx x x x0xx x-Rx x=-0RR3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。6、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。7、 绝对值不等式的解法：化为两种基本情形：（1）xa的解集为-axa,(2) xa的解集为x-a,或xa.复杂的绝对值不等式的解法详见下节。8、 指数不等式：9、 对数不等式：10、 无理不等式：第五节含有绝对值不等式：1、化为三种基本情形：（1）xa的解集为-axa,(2) xa的解集为x-a,或xa.（3）2、和差的绝对值与绝对值的和差性质：3、含多个绝对值符号的不等式可采用分段讨论法。第七章直线和圆的方程第一节直线的倾斜角和斜率：1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围。（3