数学人教版九年级下册相似三角形的判定三.doc

教学设计备课人陈文辉学科数学备课时间2017.3.7课时第三课时课题27.2.1相似三角形的判定教学目标知识与技能维度的目标1.了解两角对应相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似过程与方法维度的目标1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识情感、态度与价值观难度的目标1.进一步发展学生的探究、交流、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件解决简单问题.2.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度重点能运用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似难点三角形相似判定定理的证明过程 教具多媒体课件教法教 学 过 程导入一:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?【引导语】根据前面的学习,我们判断三角形相似需要对应边成比例,而图纸中的三角形只知道角的大小,我们只测量角的大小,能否判定三角形相似?这就是本节课的学习任务.导入二:【复习提问】(1)三角形相似的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明判定定理1和2?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入三:观察老师手中的一副三角尺和你手中的三角尺,其中含有相同锐角(30与60或45与45)的两个直角三角尺形状相同吗?它们分别满足什么条件?【导入语】有两个锐角相等的两个直角三角尺相似,那么对于任意两个有两个角相等的三角形是否相似呢?这就是我们今天探究的主要内容.设计意图以生活实例为情景导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣;通过复习三角形相似的判定方法及证明思路,为本节课学习另一个判定定理做好铺垫;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利地实现旧知识到新知识的迁移.一、 两角分别相等的两个三角形相似思路一【动手操作】(1)同桌两个人分别画出ABC,其中A=37,B=65.(2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似.(3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法.(4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程.【教师提示】类比判定定理1,2的证明方法,通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中.(5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.【师生活动】在教师的指导下,学生完成画图、测量、猜想,小组合作交流结果后,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并对学生的板书进行点评.【课件展示】两角分别相等的两个三角形相似.如图所示,已知在ABC和ABC中,A=A,B=B.求证ABCABC.证明:如图所示,在线段AB上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC于点E,则可得ADEABC.DEBC,ADE=B,又B=B,B=ADE,又A=A,AD=AB,ADEABC,ABCABC.【几何语言】如图所示,B=B,A=A,ABCABC.思路二【思考】(1)相似三角形的判定定理1,2的证明思路是什么?(在一个三角形的一边上截取与另一个三角形一边相等的线段,作平行线构造相似三角形,通过证明截得的三角形与已知三角形全等得证)(2)三角形在放大镜的观察下,得到三角形与原三角形是相似的,对应角是不变的,反过来,满足两个对应角相等的三角形是否相似呢?(3)教师用几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.分别测量三角形的三边,得到三角形三边对应的比相等.(4)猜想你观察到的结论,你能证明你的猜想吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同完成猜想、证明,学生板书证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生的证明过程进行指导,规范书写.【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.(证明过程、几何语言同思路一)设计意图学生通过动手操作、猜想、归纳、验证等数学活动(思路二教师借助几何画板让学生观察验证),得到三角形相似的判定定理3,并引导学生将文字语言转化为几何语言和符号语言,提高学生分析问题的能力和学习数学的兴趣.二、一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似【思考】(1)证明直角三角形全等的方法有哪些?(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?(三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似)(3)类比直角三角形全等的判定方法,如果一条直角边和斜边分别成比例,两个直角三角形相似吗?(4)尝试证明你的结论.【师生活动】学生思考回答,作出猜想,小组合作交流证明思路,板书书写过程,教师帮助有困难的学生,并对学生的回答和板书点评.【课件展示】一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.如图所示,在RtABC和RtABC中,C=90,C=90,=.求证RtABCRtABC.【教师引导分析】由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设=k,用勾股定理分别求出BC,BC的值,求得=k,从而得证.证明:设=k,则AB=kAB,AC=kAC.由勾股定理,得BC=,BC=.=k.=.RtABCRtABC.【追问】你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?(一个锐角相等或两边成比例)设计意图通过教师设计的问题,学生思考后合作交流,类比直角三角形全等的判定,探索出直角三角形相似的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,让学生在探索中使数学思维得到提升.三、例题讲解(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,EDAB,垂足为D.求AD的长.解:EDAB,EDA=90,又C=90,A=A,AEDABC,=,AD=4.【教师引导归纳】通过证明三角形相似,得到三角形的对应边成比例求线段的长是常用的方法.如图所示,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,针对学生的困难进行引导分析,然后学生独立完成,并用文字语言叙述该题的结论.解析由CDAB,得ADC=CDB=90,所以图中共有三个直角三角形,根据直角三角形的两锐角互余,可得A+B=90,A+ACD=90,B+BCD=90,由同角的余角相等,得B=ACD,A=BCD,根据两角分别相等的两个三角形相似易得ACDABC,CDBACB,ACDCBD.解:(1)ACDABC,CDBACB,ACDCBD.(2)答案不唯一.证明ACDABC如下:A+B=90,A+ACD=90,B=ACD,又ACB=ADC=90,ACDABC.【归纳】直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.设计意图通过例题的分析解答,巩固证明三角形相似的判定方法,体会通过证明三角形相似可以证明角相等、线段成比例,也可以计算线段的长,培养学生归纳总结能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展(1)在有一组对应角相等的情况下,可以从两个方面选择突破口:寻找另一组对应角相等;寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等.(2)直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例,则这两个直角三角形相似.1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似. 1.如图所示,已知C=E,则不一定能使ABCADE的条件是( )A.BAD=CAEB.B=DC.=D.=解析:由题意得C=E,若添加BAD=CAE,则可得BAC=DAE,利用两角法可判定ABCADE,故A错误;若添加B=D,利用两角法可判定ABCADE,故B错误;若添加=,利用两边及夹角法可判定ABCADE,故C错误;若添加=,不能判定ABCADE.故选D.2.如图所示,ADE=ACD=ABC,图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对解析:ADE=ACD=ABC,DEBC,ADEABC,DEBC,EDC=DCB,ACD=ABC,EDCDCB,同理ACD=ABC,A=A,ABCACD,ADEABC,ABCACD,ADEACD,共有4对.故选D.3.如图所示,在ABC中,D是AB边上一点,连接CD.请你添加一个适当的条件,使ADCACB,那么添加的条件是.解析:在ABC和ACD中,DAC=CAB,若要ADCACB,需添加的条件为:ADC=ACB;ACD=B;=或AC2=ABAD.故填AC2=ADAB或ACD=ABC或ADC=ACB.4.在ABC中,ACB=90,CDAB于D,=,求ACD与CBD的相似比.解:如图所示,在RtACB中,CDAB,则ACDCBD,=,即CD2=ADBD,=,令AD=2x,BD=3x(x0),CD2=6x2,CD=x.ACD与CBD的相似比为=.5.如图所示,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若APD=60,求CD的长.解:ABC为等边三角形,ABC=PCD=60,APC=ABP+BAP=60+BAP