03 导数与应用-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项 附解析

专题 导数与应用一、选择题1 【2018 河南省南阳一中三模】关于函数 ，下列说法错误的是（ ）()=2+A. 是 的极小值点 B. 函数 有且只有 1 个零点=2 () =()C. 存在正实数 ，使得 恒成立 D. 对任意两个正实数 ，且 ，若 () 1,2 21，则(1)=(2) 1+24【答案】C函数 y=f（x）x 有且只有 1 个零点，即 B 正确；f（x）kx，可得 k + ， 22 令 g（x）= +22 则 g（x） =4+3令 h（x）=4+xxlnx，则 h（x）=lnx，（0，1）上，函数单调递增， （1，+）上函数单调递减，h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）= + 在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，22 不存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立，即 C 不正确；对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1，（0，2）上，函数单调递减， （2，+）上函数单调递增，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24，正确故选：C2 【2018 河南省洛阳市尖子生联考】已知函数 有三个不同()=(+)()2的零点 ， ， （其中 ） ，则 的值为（ ）1 2 3 1 e2时,00 得 2f0，此时有无数个整数解，不满足条件。若 a0，则由 2f+af(x)0 得 f(x)0 或 f(x)0 时，不等式由无数个整数解，不满足条件。当 a0 得 f(x)a 或 f(x)a 有两个整数解， f(1)=ln2,f(2)= ln42=ln2,f(3)= ln63，当 f(x)ln2 时,函数有两个整数点 1,2,当 f(x) ln63时，函数有 3 个整数点 1，2，3要使 f(x)a 有两个整数解，则 ln63ae 时,g(t)0，当 00 ()()【答案】(1) 切线方程得： ,(2) 当 时， 的单调减区间为 ；当=2 0 () (0,+)时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；（3）见解析 0 () (0,1) (1,+)【解析】试题分析:（I）通过 f（x）在点（e，f（e） ）处的切线为 xey+b=0，可得 f（e）= ，解得1，再将切点（ e，1）代入切线方程 xey+b=0，可得 b=2e；=2（II）由（I）知：f（x） （x0） ，结合导数分a0、a0 两种情况讨论1即可；（III）通过变形，只需证明 g（x）=e xlnx20 即可，利用 g（x）= ，根据指1数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得结论（1） ， ，()=2()()=1=1又 在点 的切线的斜率为 ， ， ，() (,()1 ()=1 =1 =2切点为 把切点代入切线方程得： ；(,1) =2（2）由（1）知： 当 时， 在 上恒成立，()=1=1 (0) 0 ()0 ()=0=1 随 变化情况如下表：当 时， 单调减，当 时，(),() (0,1) ()0 () 0 () (0,+)时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 .0 () (0,1) (1,+)(3)当 时，要证 ，即证 ，令 ，0 ()+0 20 ()=2(0)只需证 ， 由指数函数及幂 函数的性质知： 在()0()=1 ()=1上是增函数又 ， ， ， 在(0,+) (1)=10(13)=133()=0 ()当 时， ，又 ，等号不成立，0()()=2=112 130=1+222=0点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题13 【2018 河南省南阳一中三模】已知函数 .()=(2)(1)2（1）当 时，求 的单调区间；=1 ()（2）若函数 在 上无零点，求 最小值.() (0,12) 【答案】(1) 的单调减区为 ，单调增区间为 ,(2) 的最小值为 () (0,2 2,+) 242（1）当 时， ，=1 ()=12则 ，由 ，得 ，由 ，得 ，()=12 ()0 2 ()0恒成立，令 ，则 ，再令(0,12),221 ()=221,(0,12) ()=2+22(1)2，则 ，故 在 上为()=2+22,(0,12) ()=22+2=2(1)2 (12)=2220 ()0 () (0,12)以 ，故要使 恒成立，只要 ，综上，若()221 242,+)函数 在 上无零点，则 的最小值为 .() (0,12) 24214 【2018 浙江温州一模】已知函数 ()=34（1）求 的单调递增区间；()（2）当 时，求证： 00 ()（2） 等价于 ，利用导数研究函数的单调性，证2+234()=342明 ，从而可得结果.()=(1)=2试题解析：（1） ，()=1+324=24+32 =(1)(3)2令 ，解得 或 ，()0 3 0 的单调递增区间为 和 () (0,1) (3,+)（2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，()=34 (0,1) 1,3所以，当 时， ，01.【答案】()a-7；()证明见解析.（）由 f(x)=x2+ +aln x，得 f(x)=2x- + ,2a由已知得 2x- + 0 在 x2,3上恒成立，即 a -2x2 恒成立.a设 g (x)=-2x ，则 g(x )=- -4x 0 （）证明： 2+(32)2+(43)3+(+1)0当 时， ，即 不恒成立.3 0(+2)=+1即 ，即+1 (+1 +2) +1(+1 +2)由此可知，当 时， ，=1 02当 时， ，=2 1(32)2当 时， ，=3 2(43)3当 时， . = +1(+1)综上：0+1+2+.+12+(32)2+(43)3+.+(+1)1110+1+2+.+1. 2+(32)2+(43)3+.+(+1)即 . 2+(32)2+(43)3+.+(+1)126 【2018 陕西省西工大附中六模】已知函数 .xfxe(1) 求 的极值；fx(2) 当 时，求证： 12m0,ln.xfxm【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.试题解析：(1) ，xfe时， 递增； 时， 递减，0x0,f0x0,fxf 在 时取极小值，极小值为 ，无极大值.f 1f（2）因为 ，所以只需证明 .12mln2xe设 ，则 ， ln(0)xgxexg21 0xgxe所以 递增，又 ， 1e2223337 08gee所以 有且只有一个根，记为 ， .0x0x013在 递减，在 递增，所以g,0,xgx ，00021,ln,xex3200000211xxgx设 ， ， 递增.3200003 0， ， ，故结论成立.07x0gxgx27 【2018 湖北武汉市调研】已知函数 （ ） （ 是自1xfeaR2.718e然对数的底数）.（1）求 单调区间；fx（2）讨论 在区间 内零点的个数.12gfx0,【答案】(1) 当 时， ， 单调增间为 ，无减区间；0affx,当 时， 单调减间为 ，增区间为fx,lnalna(2) 所以 或 或 时， 有两个零点；1e21egx当 且 时， 有三个零点a试题解析：（1） xfea当 时， ， 单调增间为 ，无减区间；0a0f,当 时， 单调减间为 ，增区间为fx,lnln,a（2）由 得 或g12x先考虑 在区间 的零点个数fx0,1当 时， 在 单调增且 ， 有一个零 点；1a0ffx当 时， 在 单调递减， 有一个零点；efx,当 时， 在 单调递减， 单调递增.1aefx0,lnaln,1a而 ，所以 或 时， 有一个零点，当 时， 1fefx1ae有两个零点x而 时，由 得20f21ae所以 或 或 时， 有两个零点；1aegx当 且 时， 有三个零点.21【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题 利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数fx的定义域；对 求导；令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；fx0fx令 ，解不等式得 的范围就是递减区间.0x28 【2018 陕西省西工大附中七模】已知函数 .logafx（1）当 时，求函数 的最值；2a1Fxf（2）当 时，对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围；e0mx（3）当 时，设函数 ，数列 满足 ， ，Gxfnb101nnbG求证： ， .10nb*nN【答案】 （1） ，无最大值.（2） （3）见解析miFx1m试题解析：（1） ，2logfx， 211logFxf x0,1x ，令 ，得 ，则 随 变化如下：2logx 0FF,所以 ，无最大值.min1Fx（2）设 ，则 ，KS5UKS5U1lnhfxxmln1hxm当 时，且 ， ，函数 在 上是增加的，0x0h 0, ， 成立；h1fx当 时，令 ，得 ，当 ， 1mln0xm 1mxe10,mxe，0x函数 在 上是减小的，而 ，所以，当 时， h1,meh1,mxe，x所以 不恒成立，1fx综上，对任意 都有 恒成立时， .01fmx1（3） ， ，logaGxloglaaGxe又 ，当 时， ， 在 上是ae,0xx0,1增加的，所以 ，当 时， ，01n10b，1 1loglog0aaGb而 ， 成立.2b2，假设 时， 成立，那么当 时， 0nk 1knk，11111loglog0kkakakkGbbb而 ， 成立.2k 20综合 ， 得： ， 成立.0*nN1n29 【2018 河北石家庄二中八月模拟】已知函数 . 362ln1xf（）求 的单调区间；fx（）若 ，若对任意 ，存在22lngtxat1,x，使得 成立，求实数 的取值范围.2,0,tx12fga【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间时 ;(2) f ,10,2,.KS5UKS5U1,e，使得 成立， 的图象与直线 有交2,0,tx20gxlnyxyax点， 方程 在 上有解.lna试题解析：（）因为 ，362l1xf所以 ，22195xfx 因为 的定义域为 ，当 时 ， 或 时f0,a0f12x，0x所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间时 .f 1,210,2（）由（）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时fx1,22,1x，20fxf又 ，2ln0gtxat所以对任意 ，存在 ，使得 成立，1,2,0,x12fxg存在 ，使得 成立，2,txg存在 ，使得 成立，,02x因为 表示点 与点 之间距离的平方，22lnxtat,ln,ta所以存在 ，使得 成立，2,x20gx的图象与直线 有交点，lyxy方程 在 上有解，na0,设 ，则 ，lhx21lnxh当 时， 单调递增，当 时， 单调递,e,xe0,hx减，又 ，所以 的值域是 ，1,0,hexhhx1,e所以实数 的取值范围是 .a1,e30 【2018 河北石家庄二中八月模拟】已知函数 .21xfe（）当 时，求 的最大值与最小值；1,2xfx（）讨论方程 的实根的个数.fa【答案】(1) 最小值是 ,最大值是 ;(2) 时，方程2ln129e1a有 1 个实根； 时，方程 有 3 个实根.fxa1fxa试题解析：（）因为 ，21xfe所以 ，2xxe令 得 ， 的变化如下表：0f12,lnx,f在 上的最小值是 ，fx1,22ln1因为 ，290,9ee所以 在 上的最