07 圆锥曲线-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项 附解析

专题 圆锥曲线一、选择题1 【2018 河南洛阳市联考】设双曲线 ： 的右焦点为 ，过 作渐近线的垂线，21629=1 垂足分别为 ， ，若 是双曲线上任一点 到直线 的距离，则 的值为（ ） |A. B. C. D. 无法确定34 45 54【答案】B2 【2018 浙江温州一模】正方形 的四个顶 点都在椭圆 上，若椭圆的焦点22+22=1在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. ( 512 ,1) (0,512 ) ( 312 ,1) (0,312 )【答案】B【解析】设正方体的边长为 ， 椭圆的焦点在正方形的内部， ，又正方形2 的四个顶点都在椭圆 上， ，C22+22=1 22+22=122+22=2+ 212， ，故选 B.432+1023 52 =( 51)22 ,0 3 【2018 吉林百校联盟联考】已知抛物线 C： 2(0)ypx的焦点 F到其准线 l的距离为 2，过焦点且倾斜角为 60的直线与抛物线交于 M， N两点，若 M， Nl，垂足分别为 M， N，则 F的面积为（ ）A. 43 B. 8 C. 13 D. 23【答案】B4 【2018 辽宁省八中模拟】已知双曲线21(0,)xyab的左、右焦点为 1F、2F，在双曲线上存在点 P 满足 121F,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A. 1e B. 2e C. e D. 2e【答案】B【解析】因为 OP为 12F的边 12的中线，可知 12POF，双曲线上存在点 满足 121F，则 4c，由 a，可知 4c，则 e，选 B. 5 【2018 湖南两市九月调研】如图，过抛物线 2(0)ypx的焦点 F的直线交抛物线于点 AB、 ，交其准线 l于点 C，若点 F是 A的中点，且 ，则线段 AB的长为（ ）A. 5 B. 6 C. 13 D. 20【答案】C由点 F是 AC的中点，有： 2AFMp.所以 24p.解得 . 抛物线 4yx设 12,xyB，则 112.所以 13x. ,21,0AF.3AFk.: y1x.与抛物线 24yx联立得： 2310x.1203x. 623ABp.故选 C. 6 【2018 辽宁辽南协作校一模】设 F1和 F2为双曲线 (a0，b0)的两个焦点，若 F1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. y= 3x B. y= x C. y= 7x D. y= 213x【答案】B7 【2018 广东省海珠区一模】已知双曲线2:1(0,)xyCab的两条渐近线均与圆 2650xy相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C的离心率为（ ）A. 3 B. C. 35 D. 2【答案】C【解析】双曲线 210,xyab的渐近线方程为 byxa，即 0y，圆2:65Cxy化为标准方程 234,3,0xC，半径为 2， 双曲线210,xyab的两条渐近线均和圆 2:650Cxy相切， 2223,94ab， 22224, 4bacaa， 23595,cae， 双曲线离心率对于 35，故选 C.【 方法点睛】本 题主要考查双曲线的 渐近线及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ,ac，从而求出 e;构造 ,ac的齐次式，求出 e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据点到直线距离公式可以建立关于焦半径和焦距的关系从而找出 ,之间的关系求出离心率 e的8 【2018 广西柳州市一模】若双曲线21xyab(0,)ab上存在一点 P 满足以OP为边长的正方形的面积等于 （其中 O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A. 51,2 B. 71,2 C. 5,2 D. 7,2【答案】C考点：双曲线的离心率来源:Zxxk.Com来源:Z|xx|k.Com9 【2018 广西柳州市一模】已知点 P是以 12,F为焦点的椭圆 210xyab上一点，若 121,PF，则椭圆的离心率 e（ ）A. 53 B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】点 P 是以 F1，F 2为焦点的椭圆2xa+ yb=1（ab0）上一点，PF1PF 2，tanPF 2F1=2， 2=2，设|PF 2|=x，则|PF 1|=2x，由椭圆定义知 x+2x=2a，x= 23a，|PF 2|= 3a，则|PF 1|= 43a，由勾股定理知|PF 2|2+|PF1|2=|F1F2|2，解得 c= 5a，e= c= 5点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用10 【2018 湖南省永州市一模】已知点 P为双曲线21(0,)xyab右支上一点， 12,F分别为双曲线的左右焦点，点 I为 12F的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有1212IPIFIFSS成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. , B. , C. 0, D. ,3【来源】 【全国市级联考】湖南省永州市 2018 届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题【答案】A【解析】2r得 12121212,PFFPF，根据双曲线定义，得,ac， ac离心率为 cea，双曲线的离心率取值范围为 ,，故选 A.11 【2018 广东珠海市九月摸底】已知抛物线 C： y2=4x，过点 P(2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是A. 2,0, B. ,2C. , D. ,0,【答案】A12 【2018 陕西西工大附中六模】已知双曲线21(0,)xyab的两条渐近线与抛物线 28yx的准线分别交于 ,AB两点， O为坐标原点，若 ABO的面积为 43，则双曲线的离心率为( )A. 72 B. 2 C. 13 D. 4【答案】B【解析】y 2=8x 的准线方程为 l:x=2，双曲线 210,xyab的两条渐进线与抛物线 y2=8x 的准线分别交于 A,B 两点,ABO 的面积为 43， 12ba，b= 3a，c=2a， 2ce.本题选择 B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 cea；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)二、填空题13 【2018 浙江温州一模】已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点 3=0 (2)2+2=4 （其中 是坐标原点） ，则圆心 到直线 的距离为_ ，点 的横坐标为 _【答案】 1 314 【2018 广西三校联考】双曲线 的焦距为_ .【答案】8【解析】双曲线2215k9xy,即由题意(25 k)(9k)0是抛物线上的定点，且 ，点 ， 是抛物线上的动点，直线 ， 斜率分别为 =(2,0) ， 1 2（1）求抛物线 的方程；（2）若 ，点 是抛物线在点 ， 处切线的交点，记 的面积为 ，证明 为21=2 定值【答案】 （1） （2）2=4 =32试题解析：（1）设 ，由题知 ，所以 ，(0,0)(0,2) =(0,20) =(2,0)所以 代入 （ ）中得 ，即 ，0=2,0=2, 2=20 4=2 =2所以抛物线的方程是 2=4（2）过 作 轴平行线交 于点 ，并设 ， ， (1,124) (2,224)由（1）知 ，(2,1)所以 ，21=22412+212411+2=214又 ，所以 ，21=2 21=8直线 ： ，直线 ： ，解得=12124 =22224 =1+22 ,=124 , 因直线 方程为 ，将 代入得 ，124=1+24 (2) =12+228所以 =12|(21)=12()(21)=12(21)28 (21)=32点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19 【2018 浙江温州一模】已知抛物线 ： （ ） ，焦点为 ，直线 交抛物线 于 2=20 ， 两点， 为 的中点，且 (1,1) (2,2) (0,0) |+|=1+20 （1）求抛物线 的方程；（2）若 ，求 的最小值12+12=10|【答案】 （1） ；（2） .2=224果.试题解析：（1）根据抛物线的定义知 ， ，|+|=1+2+ 1+2=2 ，|+|=1+2 ，=1 2=2（2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程，得 ， =+ 222=0 ，即 ，12+12=112124 +12=1 ，即 ，12=2 12=2=2 ，=1 ， ，1+2=212=2，|=1+2|12| =1+2 (1+2)2412=21+2 2+2，=1+22 =12+124 =14(1+2)2212=2+1 ，0|= 2+122+1 2+2令 ， ，则 =2+1 1,+)0|= 2 +1= 121+124【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.20 【2018 广西三校九月联考】已知椭圆方程 C为： 21xyab， (0)ab椭圆的右焦点为 1,0，离心率为 12e，直线 l： ykm与椭圆 C相交于 A、 B两点，且34OABk（1）椭圆的方程及求 AOB的面积；（2）在椭圆上是否存在一点 P，使 为平行四边形，若存在，求出 OP的取值范围，若不存在说明理由.【答案】 （1）2143xy， S3 （2）不存在 P试题解析：（1）由已知 1,2ca 223bac 椭圆方程为： 43xy 设 A( 1,)xy，B 2,，则 A, B的坐标满足21 43xykm消去 化简得， 223480kxm， 12284kx214mx， 0A得 2321212112ykxkxx,22 24833344mk.OABK， 12yx，即 1212yx223134mkk即 243mk,222 211483ABkmxxA=2 22481433kk.O 到直线 ykxm的距离 2d1k222244111233AB kmSdA,234k.（2）若存在平行四边形 OAPB 使 P在椭圆上，则 OPAB，设 0Pxy， ，则 0122834kmx, 0122634myk,由于 P在椭圆上 ，所以20143xy，从而化简得 226kk化简得 243 ， 由 34OABK，知 243k 联立方程知 0m，故不存在 P在椭圆上的平行四边形. 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系往往都是联立，韦达定理，弦长公式，最主要是计算一定要细心.21 【2018 河南中原名校质检二】已知椭圆 的离心率为 ，以原点:22+22=1(0) 12为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切 .+6=0(1)求椭圆 的方程：(2)设 ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一(4,0)、 点 ，证明直线 与 轴相交于定点 . 【答案】 （1） （2）24+23=1 (1,0)(1) ，即 ，=12 2=22=222 =14 2=432又 ，既 故椭圆 的方程为 .= 61+1=3 2=3 2=4 24+23=1(2)由题意知，直线 的斜率存在，设其为 ，则直线 的方程为 =(4)由 可得，32+4212=0=(4) (4+3)2322+64212=0设点 ，则 ， ， (1,1)、 (2,2) (1,1)1+2=32242+3 12=6421242+3由于直线 的方程为2=2+121(2)所以令 ，可得=0=22(21)2+1 =2 (24)(21)(24)+(14)=2124(1+2)1+28带入到上式既可解得 ， 所以直线 与 轴相交于定点 .=1 (1,0)点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。求解本题的第一问时，依据题设题设中的已知条件，建立方程组，然后通过解方程组从而使得问题获解；解答本题的第二问时， 先建立直线的方程，后与椭圆方程联立，然后借助坐标之间的关系分析推证，从而证得直线过定点，并求出了定点分的坐标使得问题获证。22 【2018 吉林百校联盟九月联考】已知椭圆 C： 21(0)xyab的离心率为 12，且过点 23,， A， B是椭圆 上异于长轴端点的两点.（1）求椭圆 C的方程；（2）已知直线 l： 8x，且 1l，垂足为 1A， 1Bl，垂足为 1B，若 3,0D，且 1ABD的面积是 AB面积的 5 倍，求 D面积的最大值.【答案】(1) 216xy；(2)3.后结合对勾函数的性质可得 ABD面积的最大值是 3.试题解析：（1）依题意 221,3, cabc解得4,3 2,ab故椭圆 C的方程为 16xy.（2）设直线 AB与 轴相交于点 ,0Rr 132ABDABSry， 1152ABDABSy，由于 1DS且 1ABy，得 3r， 4（舍去）或 2r，即直线 AB经过点 2,0F，设 1,xy， xy， AB的直线方程为： 2xmy，由 2, 348m即 2341360y，12y， 12ym，12124ABDSy2134m213，令 tm，所以 23ABDtSt，因为133tt，所以 1t在 ,上单调递增，所以在 1,t上单调递增，所以 134t，所以 3ABDS（当且仅当 21tm，即 0时“ ”成立） ，故 ABDS的最大值为 3.23 【2018 湖南两市九月调研】已知动圆 P经过点 ,N，并且与圆2:16Mxy相切.（1）求点 P的轨迹 C的方程；（2）设 ,0Gm为轨迹 内的一个动点，过点 G且斜率 为 k的直线 l交轨迹 C于AB、两点，当 k为何值时？ 22|AB是与 m无关的定值，并求出该值定值.【答案】 （1）2143xy；（2）见解析.试题解析：（1）由题设得： 4PMN，所以点 P的轨迹 C是以 MN、 为焦点的椭圆，224,3,acbac椭圆方程为2143xy.（2）设 12,0()AxyBGm，直线 :lkxm，由 2 43k得 22248410kxk，2212181,43mkxxk 1212122643mkyx. 2121212124kxkk.|GABmyxy2 22111112xx222643kkk22|GAB的值与 m无关， 2430，解得 3k.此时 22|7AGB.（方法 2：当 0k时，；当 0k时，设直线 :lxkym，；可以减少计算量.）24 【2018 辽宁省辽南协作校一模】已知抛物线 2:C， 直线 :2lkx交 C于AB、两点， M是 AB的中点，过 作 x轴的垂线交 于 N点.（1）证明：抛物线 C在 N点处的切线与 AB平行；（2）是否存在实数 k，使以 为直径的圆 M经过 N点？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析;(2) 存在实数 2k使以 为直径的圆 经过 点.因为 24x，所以抛物线在 N点处的切线斜率为 k，故该切线与 AB平行.（2）假设存在实数 k，使以 AB为直径的圆 M经过 N点，则 12.由（1）知 12Myy 2124kkx，又因为 垂直于 x轴，所以 6|8N，而 212ABxk 2216k.所以 264，解得 .所以，存在实数 k使以 AB为直径的圆 M经过 N点.25 【2018 广东省海珠区一模】已知椭圆2:1(0)xyCab的焦距为 26，且过点 2,1A.（1）求椭圆 C的方程；（2）若不经过点 的直线 :lykxm与 C交于 ,PQ两点，且直线 AP与直线 Q的斜率之和为 0，证明：直线 PQ的斜率为定值.【答案】 （1）218xy；（2）试题解析：（1）因为椭圆 C的焦距为 26，且过点 2,1A，所以 241,26cab.因为 22abc，解得 28,ab，所以椭圆 C的方程为 8xy.（2）设点 12,PxyQ，则 12,ykxmykx，由 2, 1kxmy消去y得 2248480kkm， （*）则21212848,4xkk，因为 0PAQ，即 12yx，化简得12121240xy.即 121240kxmkxm.（*）代入得 224840kmk，整理得210k，所以 1或 k.若 12k，可得方程（*）的一个根为 ，不合题意，所以直线 PQ的斜率为定值，该值为 .【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题.用 待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x轴上，还是在 y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程 210yab或21xa0b；找关系：根据已知条件，建立关于 、 、 c的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 26 【2018 江西省红色七校联考】已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线 283xy的焦点。（1）求椭圆 C 的标准方程。（2）已知点 2,(0)PtQt在椭圆 C 上，点 A、B 是椭圆 C 上不同于 P、Q 的两个动点，且满足： ABP。试问：直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由。【答案】 （1）216xy（2）试题解析：（1）椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，设椭圆标准方程为2xyab（ ab0） ，椭圆离心率等于 12，它的一个顶点恰好是抛物线 283xy的焦点283xy焦点为(0,2 3)，b=2 3（1 分）e= ca= 12，a 2b 2=c2，解得 a2=16，b 2=12椭圆 C 的标准方程216xy（2）直线 x=2 与椭圆2交点 P（2，3） ，Q（2，3）或 P（2，3） ，Q（2，3） ，|PQ|=6，设 A （x 1，y 1