二次函数中的存在性问题[1].doc

二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：_研究确定图形，先画图解决其中一种情形_.先验证的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解_.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍二、精讲精练1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的PAB与OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标2. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C点P在抛物线上，直线PQ/BC交x轴于点Q，连接BQ（1）若含45角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标3. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD10，OB8将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）若抛物线经过A、B两点，则该抛物线的解析式为_；（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由4. 已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由5. 抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以P、M、Q、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由【参考答案】一、 知识点睛 画图分析 分类讨论 验证取舍 二、 精讲精练1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当BAP=90时，BAPAOB或BAPBOA； 若BAPAOB，如图1，可知PMAAOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），代入，可知， 若BAPBOA，如图2，可知PMAAOB，相似比为1：2；则P2（2m，），代入，可知，当ABP=90时，ABPAOB或ABPBOA； 若ABPAOB，如图3，可知PMBBOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），代入，可知， 若ABPBOA，如图4，可知PMBBOA，相似比为1：2；则P4（m，），代入，可知，2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.过点D作DGx轴于点G，过点D作DFQP于点F.则可证DCGDEF.则DG=DF，矩形DGQF为正方形.则DQG=45，则BCQ为等腰直角三角形.CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）可得BQ解析式为y=x+4.（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.而题目当中没有说明DCE=30还是DCE=60，所以分两种情况来讨论. 当DCE=30时，a）过点D作DHx轴于点H，过点D作DKQP于点K.则可证DCHDEK.则，在矩形DHQK中，DK=HQ，则.在RtDHQ中，DQC=60.则在RtBCQ中，CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.P（1+,）.b）又P、Q为动点，可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为（1,） 当DCE=60时，a) 过点D作DMx轴于点M，过点D作DNQP于点N.则可证DCMDEN.则，在矩形DMQN中，DN=MQ，则.在RtDMQ中，DQM=30.则在RtBCQ中，CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.P（1+,）.b）又P、Q为动点，可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1,）综上所述，P点坐标为（1+,），（1,），（1+,）或（1,）.3解：（1）AB=BC=10，OB=8在RtOAB中，OA=6 A（6，0）将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得， （2）存在：如果AMN与ACD相似，则或设M（0m6）1） 假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：当时，即如图2验证一下：当时，即（舍）2）如果点M在x轴上方的抛物线上：当时，即 M此时,AMNACDM满足要求当时，即m=10（舍）综上M1,M24.解：满足条件坐标为：思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线； (1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP； 点A、P纵坐标差为2 点M、N纵坐标差为2； 点M的纵坐标为0 点N的纵坐标为2或-2 当点N的纵坐标为2时 解： 得 又点A、P横坐标差为2 点M的坐标为： 、当点N的纵坐标为-2时解： 得 又点A、P横坐标差为2 点M的坐标为： 、 (2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0） MN一定过AP的中点（0，-1）则N5（-m，-2）N5在抛物线上（负值不符合题意，舍去）综上所述:符合条件点P的坐标为：5解：分析题意，可得：MPNQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可由题知：，故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况： 如图1，令PM=QN，解得：（舍去），；如图2，令PM=QN，解得：（舍去），；如图3，令PM=QN，解得：，（舍去）；如图4，令PM=QN，解得：，（舍去）；综上，m的值为、二次函数中的存在性问题（每日一题）1. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由2. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 3. 如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？请证明你的结论（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点D的坐标；（3）P是y轴左侧抛物线上的动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】【1】解：（1）在矩形ABCD中，BC=AO=10，OC=AB=8,由折叠可知：CE=BC=10，DE=BD在RtEOC中，由勾股定理可得EO=6，AE=4，设AD=x，则DE=8-x在RtADE中由勾股定理得42+x2=（8-x）2，x=3，则D（3，10），AD=3将O（0，0），D（3，10），C（8，0）代入，得（2）存在；理由：当EC为平行四边形的边时，则MNEC，MN=EC由E（0，6），C（8，6）可知E、C之间的水平距离为8，M、N之间的水平距离也是8点N在抛物线对称轴直线x=4上，若M在对称轴左侧，则M的横坐标为-4，代入抛物线可得M1（-4，-32）N1（4，-38）若M在对称轴右侧，则M的横坐标为12，代入抛物线可得M2（12，-32）N2（4，-26）当EC为平行四边形对角线时，MN过EC的中点（4，3）N在直线x=4上，直线MN与直线x=4重合，M3（4，）N3（4，）综上所述：M、N的坐标为：M1（-4，-32），N1（4，-38）；M2（12，-32），N2（4，-26）；M3（4，），N3（4，）【2】解：（1）将A（-3，0），B（1，0）代入，可得：（2）存在；理由：当AC为平行四边形的边时：MQAC若M在x轴上方，则MCQA，MC=QA由C（0，2）可知点M的纵坐标为2，代入抛物线解析式得M1（-2，2）QA=MC=2由A（-3，0）知Q1（-5，0）若M在x轴下方，则四边形MACQ为平行四边形，则C与M到x轴的距离相等，由C（0，2）知M的纵坐标为-2，代入抛物线解析式得M2（，-2），M3（，-2）Q2（，0），Q3（，0）当AC为平行四边形的对角线时，MQ过AC的中点（，1）M在x轴上方，MCAQM（-2，2）由MQ中点（，1）可得Q4（-1，0）综上所述：Q1（-5，0）；Q2（，0）；Q3（，0）；Q4（-1，0）【3】（1）由A（1，0），B（3，0），C（0，3）可得解析式：顶点D（1，-4）（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC=，在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，CD=，在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，BD=，BC2+CD2=BD2，故BCD为直角三角形（3）存在；理由：连接AC，则易证RtAOCRtDCB，CDB=OAC，DBC=ACO 当P在x轴上时，若APC=90，则PCx轴，P与O重合，此时RtAPCRtDCB，符合题意，P1（0，0）若ACP=90，CDB=OAC，易证RtAPCRtDCB，符合题意，RtAOCRtACP，OP=9，P2（9，0） 当P在y轴上时，若APC=90，P与O重合，若PAC=90，DBC=ACO，易证RtDCBRtPAC，符合题意易证RtPOARtAOC，OP=，P3（0，）综上所述符合条件的P点有三个：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）【4】（1）由A（2，0），B（-3，3），O（0，0）可得解析式：（2）当AO为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由A（-2，0）知DE=AO=2，若D在对称轴直线x=-1左侧，则D横坐标为-3，代入抛物线解析式得D1（-3，3）若D在对称轴直线x=-1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）当AO为平行四边形对角线时，DE过AO中点（-1，0），E在直线x=-1上，直线DE与对称轴重合，D3（-1，-1）综上所述：符合条件的D有三个：D1（-3，3）D2（1，3）D3（-1，-1）（3）存在，如图：B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形且.设P（m，）当P在x轴下方，则-2m0，若，则，m=-2（舍）或者m=-3（舍）若，则，m=-2（舍）或者m=，P1（，）当p在x轴上方，则m-2,若，则，m=-2（舍）或者m=-3，P2 （-3，3）若，则，m=-2（舍）或者m=（舍）综上所述：符合条件的P有两个点：P1（，），P2（-3，3）二次函数中的存在性问题（随堂测试）1 如图，抛物线与轴交于A（-1，0）、B（1，0）两点，与轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）M是轴下方抛物线上的一个动点，过M作MN轴于点N，是否存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】1. (1)y=-x2+1(2)4(3)M(-2，-3)，(4，-15)，二次函数中的存在性问题（作业）5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由6. 如图，已知二次函数的图象过点A(-4，3)，B(4，4)，交x轴于C、D两点（1）求证：ACB是直角三角形；（2）若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PHx轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上若点P是直线AB上方抛物线上的一动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标8. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3，0)，B(1，0)，过顶点C作CHx轴于点H（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）若点P是x轴上方抛物线上的一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标 【参考答案】1解：（1）由抛物线解析式y=-x2+2x+3可得：A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，再由A、C两点坐标，可得直线AC的解析式为：y=3x+3（2）由题意可得：PQAC且PQ=AC， 如图1，当点Q在点P上方时，过点Q作QEx轴于点E，可证PEQAOC QE=OC=3故令y=-x2+2x+3=3，解得：x1=0(舍去)，x2=2故Q1 (2，3)如图2，当点Q在点P下方时，同过点Q作QEx轴于点E，可证PEQAOC QE=OC=3故令y=-x2+2x+3=-3，解得：，故，综上，Q点的坐标为Q1 (2，3)、，2(1)证明：由抛物线的表达式，可得：C(-2，0)，D，如图1，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则AE=3，EC=2，CF=6，BF=4且AEC=BFC=90AECCFBACE=CBFACE+BCF=CBF+BCF=90ACB=90即ACB是直角三角形（2）由题意得：，在RtACB中，由（1）可知：，故PHD也是直角边的比为1:2的直角三角形，如图2，当点P在第二象限抛物线上，即m-2时，i）解得：ii）解得：如图3，当点P在第一象限抛物线上，即m时，i）解得：（舍去）ii）解得：综上，或时满足条件.3.解：由可得，A(-8,),B(2,0).则8m2. 当G点在y轴上时，此时，如图1