矩阵初等变换的应用.doc

摘 要矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩The application of elementary transformation of matrixABSTRACT. Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple.Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank目 录一.引言1二.矩阵及其初等变换的概念1三.矩阵初等变换的应用2（一）在线性代数中的应用21. 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型22. 矩阵的分块和分块矩阵的初等变换33. 求伴随矩阵和逆矩阵54. 求矩阵的秩，向量组的秩65. 求矩阵的特征值和特征向量86. 解线性方程组97. 求解矩阵方程128. 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组13（二） 在数论中的应用14四.总 结17五.参考文献18一.引言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个应用广泛的概念，而作为矩阵的一种运算方法，初等变换在矩阵的研究中具有很重要的意义。二. 矩阵及其初等变换的概念首先介绍矩阵的概念定义1.1 由个数排成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵。称为矩阵的第行第列元素。定义1.2 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对掉矩阵两行（对调两行，记作）；(2)用任意数乘矩阵的某一行中的所有元素（第行乘，记作）；(3)用数乘矩阵的某一行的所有元素加到另一行的对应元素上去（第行的倍加到第行上，记作）。把定义中的“行”换成“列”，就是矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把换成）。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义1.3 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵或初等方阵。例如：我们将的1，2两行互换得到初等矩阵，将的第3行乘以-2倍所得初等矩阵，将的第1行的-5倍加到第2行上，就可以得到。三. 矩阵初等变换的应用矩阵的初等变换应用广泛，本文主要总结了它在线性代数、数论的方面的应用。（一）在线性代数中的应用矩阵的初等变换是矩阵的计算中必要的步骤。在矩阵计算时，首先需要对它进行初等变换，化成单位矩阵，阶梯形矩阵等简单的矩阵，使计算简便。1. 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型一个阶梯形矩阵，需满足两个条件：（1）如果它既有零行，又有非零行，则零行在下，非零行在上。（2）如果它有非零行，则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升。 阶梯形矩阵的基本特征 ：如果所给矩阵为阶梯形矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。对于任何矩阵，总可以通过有限次初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵。任意一个矩阵，总可以经过初等变换把它化为标准形：若和等价，则矩阵B称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）。例:用初等变换将下列矩阵化为阶梯形和标准形，解：应用初等变换矩阵是阶梯形，矩阵是标准形。2. 矩阵的分块和分块矩阵的初等变换将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中重要的手段。现设某个单位矩阵如下进行分块：对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵；一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵,只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：, (1), (2) 。 (3) 同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果。在(3)中，适当选择，可使。例如可逆时，选，则。 于是(3)的右端成为 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用。例：设。可逆，求。解： 所以，.3. 求伴随矩阵和逆矩阵矩阵中的元素都用它们在行列式中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，得到的这个矩阵叫的伴随矩阵。如：方阵的行列式的各元素的代数余子式所构成的如下方阵，称为方阵的伴随阵，且。例：求的伴随矩阵。解：先求代数余子式，,同理可求得 所以。 定义2.1 设是数域上一个阶方阵，若在相同数域上存在另一个阶矩阵，使得：则我们称是的逆矩阵，而则被称为可逆矩阵。逆矩阵的基本求法有：1. 定义法，找出使或； 2. 伴随矩阵法，；3. 初等变换法， ；4. 分块矩阵法 这里用初等变换法来求矩阵的逆。例：求的逆矩阵。解：用初等变换，得所以4. 求矩阵的秩，向量组的秩(1)矩阵的秩矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”。定理：矩阵经初等变换后，其秩不变，即若则。因此只要把矩阵用初等行变换变成阶梯型矩阵，阶梯型矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。例：求的秩。解：所以=3(2)极大线性无关组在向量组中，如存在一个部分组线性无关，且再添加进组中任一向量，向量组一定线性相关，则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。(3)向量组的秩 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量的秩，记为。求向量组秩的方法是把向量组成矩阵，再用初等行变换化成阶梯形，即可知秩的大小。例：求向量组的一个极大线性无关组和秩。解：把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有所以极大无关组为，向量组的秩是2。5. 求矩阵的特征值和特征向量(1)矩阵的特征值与特征向量的概念设是阶矩阵，若存在数及非零的维列向量，使得成立，则称是矩阵的特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的特征向量。(2)矩阵的特征多项式与特征方程的概念行列式称为矩阵的特征多项式。称为矩阵的特征方程。特征方程是的次方程，它的个根就是矩阵的个特征值。(3)特征值和特征向量的求法先由特征方程求出矩阵的全部特征值，其中可能有重根。然后对每个不同的特征值，分别解齐次方程组。设，如果求出方程组的基础解系（即矩阵关于特征值的线性无关的特征向量），则矩阵属于特征值的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数。例：求的特征值与特征向量。解： 当=7时，当时，所以的特征值是，相应的特征向量分别是，其中6. 解线性方程组 (1)线性方程组的各种表达形式及相关概念线性方程组可用矩阵乘法表示为：，其中，如果维向量满足方程组，即，则称是的一个解向量。(2)基础解系的概念齐次方程组恒有解（必有零解）。当有非零解时，根据齐次方程组解的性质，解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解。称是的基础解系，即是的解，线性无关，的任一解都可由线性表出。所谓基础解系，其实就是的解向量的一个极大无关组。(3)基础解系的求法求基础解系时，可对作初等行变换化为阶梯形矩阵，通常称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有个主元），那么剩余的其他未知数就是自由变量（共有个），当然也可在加减消元后找出秩为的行列式，那么其它各列的未知数就是自由变量，对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系(4)齐次方程组有非零解的判定设是矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是，亦即的列向量线性相关。特别地：如果是阶矩阵，有非零解的充要条件是；有非零解的充分条件是（即方程个数未知数个数）。(5)非齐次线性方程组有解的判定设是矩阵，线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即；唯一解无穷多解无解(6)非齐次线性方程组解的结构如果元线性方程组有解，设是相应齐次线性方程组的基础解系，是的某个已知解，则是的通解。例：解齐次方程组解：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量。于是得到。例：解方程组解：对增广矩阵进行初等变换化为阶梯形由，方程组有解，有1个自由变量。先求相应齐次线性方程组的基础解系所以齐次方程组的通解是。再求非齐次线性方程组的特解，令，解得，所以特解为。所以，方程组的通解是：。7. 求解矩阵方程有解的每列可由的列向量线性表出 。解题思路：解矩阵方程的基本方法：若可逆，则,可以先求出,再作乘法求出，也可以用行变换直接求出，即。 同理，方程，若可逆，则。 对于，若,均可逆，则。例：设, 求，使得。解：由,知可逆，于是 则8. 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组定义：设向量组为，以为列构成矩阵，对施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩，若，则线性无关，若，则线性相关。例：判断下列向量组的线性相关性。 解：把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有 所以向量组的秩是2，可见向量组线性相关，极大线性无关组是。（二） 在数论中的应用两个实数域上的一元多项式的最大公因式可以用矩阵的行初等变换来求解。（1）最大公因式概念定义 设，是中两个多项式。中多项式称为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）是，的一个公因式；2），的公因式全是的因式。定理：对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式，使引理1：数域上所有次数不大于的多项式连同零多项式构成的多项式空间与所有的元有序数组构成的向量空间同构。事实上，在与之间存在同构映射：。，可见，可用表示。引理2： （1）（2）（3）（4） （5）设，证明 （1）、（2），显然可证； （3）设,则，又令作为与的任一公因式，,，于是，进而有，命题得证。 （4）证明同（3） （5）设且是与的任一公因式，注意到，于是，故。 推广此式可。定理：用表示多项式的待求最大公因式，则对施行初等行变换，两个多项式的最大公因式不变。当时，即，所表示的最大公因式相等。证明 由引理2中（1）、（2）、（3），即得定理的第一部分，由引理2中的（4）、（5），即得定理的第二部分（注：由引理知与是相等关系）化简方法：按照以上方法将多项式降阶，依此化简下去，最终可得最大公因式。 利用上面的结论，对于多项式的最大公因式，可以用矩阵的行初等变