解析几何知识点.doc

解析几何1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为.倾斜角的范围.2.直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,即tan();倾斜角为的直线没有斜率.(2)斜率公式：经过两点、的直线的斜率为.(3)应用：证明三点共线：.3.直线的方程：(1)点斜式：已知直线过点斜率为,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. 说明: 这个方程是由直线上一点和斜率确定的;当直线的倾斜角为时,直线方程为;当直线倾斜角为时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:.(2)斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. 说明: 为直线在轴上截距;斜截式方程可由过点的点斜式方程得到;当时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.(3)两点式：已知直线经过、两点,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线.说明: 这个方程由直线上两点确定;当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程;但把两点式化为整式形式,就可以利用它来求出过平面内任意两个已知点的直线的方程:若,则有,即;若,则有,即.(4)截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.说明: 该直线方程由直线在轴和轴上截距确定,所以叫做直线方程的截距式;截距式的推导可以通过直线的两点式来实现;在利用直线的截距式求解直线方程时要注意截距相等、截距的绝对值相等、截距成多少倍或互为相反数时,不要忘记直线过原点的特殊情况.(5)一般式：任何直线均可写成(不同时为)的形式.4.设直线方程的一些常用技巧：(1)知直线纵截距,常设其方程为.(2)知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为的直线).(3)知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,则其方程为.(4)与直线平行的直线可表示为.(5)与直线垂直的直线可表示为.(6)过两直线,的交点直线系： (注: 该直线系不含.)提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.5.点到直线的距离及两平行直线间的距离： (1)两点的距离(2)点到直线的距离.(3)两平行线间的距离为.6.直线与直线的位置关系：(1)平行(斜率)且或.(2)相交.(3)重合且,.提醒：(1)、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.(3)直线与直线垂直.7.到角和夹角公式：(1)到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角,且().(2)与的夹角是指不大于直角的角且()提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解.8.对称(中心对称和轴对称)问题代入法. (1)点关于点对称问题-抓住中点关系. (2)点关于直线对称问题-抓住斜率关系及中点关系. (3)曲线关于点对称问题-利用相关点法求轨迹(转化为点关于点对称问题). (4)曲线关于直线对称问题-利用相关点法求轨迹(转化为点关于直线对称问题).提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9.圆的方程：(1)圆的标准方程：.(2)圆的一般方程：,提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆的充要条件是什么？(且且).(3)为直径端点的圆方程.10.点与圆的位置关系：已知点及圆.(1)点在圆外.(2)点在圆内.(3)点在圆上.11.直线与圆的位置关系：直线和圆 有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：则相交;相离;相切.(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为,则相交;相离;相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.12.圆与圆的位置关系(用两圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为,半径分别为,则(1)当时,两圆外离; (2)当时,两圆外切;(3)当时,两圆相交; (4)当时,两圆内切;(5)当时,两圆内含.13.圆的切线与弦长：(1)切线：过圆上一点圆的切线方程是：,过圆上一点圆的切线方程是：,一般地,如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径);从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程;切线长：过圆()外一点所引圆的切线的长为().(2)弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：;过两圆、交点的圆(公共弦)系为,时,方程表示:两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线.14.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).15.动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系.待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.相关点法：动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程.参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.16.空间直角坐标系(1)定义:以空间中两两互相垂直且交于一点的三条直线分别为轴、轴、轴,这是就说建立了空间直角坐标系,其中点叫做坐标原点, 轴、轴、轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面、平面、平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使.(3)坐标:设点为空间的一个定点,过点分别作垂直与轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.设点和在轴、轴和轴上的坐标分别是和,那么点就和有序实数组是一一对应的关系,有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记作.其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.(4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系;建立空间直角坐标系要记住三要素:原点、坐标轴方向、单位长度;特殊点的坐标:原点;轴上的点的坐标分别为,;坐标平面上点的坐标分别为. (5)对称:在空间直角坐标系中,点,则有 点关于原点的对称点是; 点关于横轴