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文档简介

定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分y=f(x)bxya(x)x设函数在 上连续,，于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 ，于是这个积分就写成了.当在上变动时，对应于每一个 值,积分就有一个确定的值，因此是变上限 的一个函数，记作 =（ ）通常称函数 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数在区间上连续，则变上限积分=在上可导，且其导数是 （ ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数=即为其原函数.例1 计算=在=0 ,处的导数.解 因为=,故；.例2 求下列函数的导数： (1)；解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有 .(2).解 .二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 定理2 设函数在闭区间上连续，又 是的任一个原函数，则有.证 由定理1知，变上限积分 也是的一个原函数，于是知, 为一常数, 即 .我们来确定常数 的值，为此，令 ，有，得.因此有 .再令，得所求积分为 .因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得 ,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式： .例1 求定积分： (1)；（2）；（3）.解 （1）.（2）.（3）在上写成分段函数的形式 于是.例2 计算.解 因为 时,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是 的复合函数,其中,所以,于是有 . 思考题1.若，2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续.
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