湖南省长郡中学2014-2015学年高一数学上学期期末试卷(含解析).doc

湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）已知全集U=1，0，1，2，3，4，A=1，0，2，4，则UA=（）AB0，2，4C1，3D1，1，32（3分）函数f（x）=的定义域为（） A1，2）（2，+）B（1，+）C1，2）D1，+）3（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A圆柱B圆锥C四面体D三棱柱4（3分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）ABCD5（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x6（3分）函数y=lg（x2+2x+8）的增区间为（）A（，1B1，+）C（2，1D1，4）7（3分）下列各式中值等于的是（）Asin15cos15BCcos2sin2D8（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A=（0，0），=（1，2）B=（2，3），=（，）C=（3，5），=（6，10）D=（1，2），=（5，7）9（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（e，+）10（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）Af（x）的图象关于y轴对称Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）的图象关于直线x=对称Df（x）的图象关于点（，0）对称11（3分）函数f（x）=loga（2x+b1）（a0，a1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A0a1b11B0b1a1C0ba11D0a1b112（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A4BC4D13（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A+k，+k（kZ）B+k，+k（kZ）C+2k，+2k（kZ）D+2k，+2k（kZ）14（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A39B40C41D4315（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上16（3分）求值：tan40+tan20+tan40tan20=17（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为18（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=若|=，则=19（3分）已知函数f（x）=+loga（a0且a1），且f（m）=7（m0），则f（m）=20（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x）+1在上的面积为三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤21（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，（，），求cos的值22（8分）已知，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）（1）若|=3，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与2垂直，求与的夹角23（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为COA=60记该梯形内部位于直线x=t（t0）左侧部分的面积为f（t）试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象24（8分）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，0，0）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（）f（+）的单调递增区间25（8分）设函数f（x）=ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）若f（1）0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2+cos2）+f（1tcos）0对所有的（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a2x2mf（x），且g（x）在1，+）上的最小值为1，求m的值湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）已知全集U=1，0，1，2，3，4，A=1，0，2，4，则UA=（）AB0，2，4C1，3D1，1，3考点：补集及其运算专题：集合分析：由全集U及A，求出A的补集即可解答：解：全集U=1，0，1，2，3，4，A=1，0，2，4，UA=1，3故选：C点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2（3分）函数f（x）=的定义域为（）A1，2）（2，+）B（1，+）C1，2）D1，+）考点：函数的定义域及其求法专题：计算题分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可解答：解：由题意 解得x1，2）（2，+）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键3（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A圆柱B圆锥C四面体D三棱柱考点：由三视图还原实物图专题：计算题；空间位置关系与距离分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题4（3分）已知角的终边经过点（4，3），则cos=（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值解答：解：角的终边经过点（4，3），x=4，y=3，r=5cos=，故选：D点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题5（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（，0）上单调递增，得到本题结论解答：解：选项A，f（x）=f（x），f（x）是偶函数，图象关于y轴对称f（x）=x2，20，f（x）在（0，+）单调递减，根据对称性知，f（x）在区间（，0）上单调递增； 适合题意选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+）上单调递增，在区间（，0）上单调递减，不合题意选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意选项D，f（x）=2x在（，+）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意故选A点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题6（3分）函数y=lg（x2+2x+8）的增区间为（）A（，1B1，+）C（2，1D1，4）考点：复合函数的单调性专题：函数的性质及应用分析：令t=x2+2x+80，求得函数的定义域为（2，4），函数y=lgt，本题即求函数t=（x1）2+9在（2，4）上的增区间再利用二次函数的性质可得结论解答：解：令t=x2+2x+80，求得2x4，故函数的定义域为（2，4），函数y=lgt，故本题即求函数t=（x1）2+9在（2，4）上的增区间再利用二次函数的性质可得函数t 在（2，4）上的增区间为（2，1，故选：C点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题7（3分）下列各式中值等于的是（）Asin15cos15BCcos2sin2D考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：三角函数的求值分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论解答：解：sin15cos15=sin30=，故排除A=tan45=，故B满足条件cos2sin2 =cos=，故排除C=cos=，故排除D，故选：B点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题8（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A=（0，0），=（1，2）B=（2，3），=（，）C=（3，5），=（6，10）D=（1，2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题9（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（e，+）考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得f（2）f（3）0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间解答：解：函数 满足 f（2）=0，f（3）=1ln30，f（2）f（3）0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题10（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）Af（x）的图象关于y轴对称Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）的图象关于直线x=对称Df（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin2（x）+=sin（2x） 的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题11（3分）函数f（x）=loga（2x+b1）（a0，a1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A0a1b11B0b1a1C0ba11D0a1b1考点：对数函数的图像与性质专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键利用好图形中的标注的（0，1）点利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系解答：解：函数f（x）=loga（2x+b1）是增函数，令t=2x+b1，必有t=2x+b10，t=2x+b1为增函数a1，01，当x=0时，f（0）=logab0，0b1又f（0）=logab1=loga，b，0a1b1故选：D点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力考查学生的数形结合能力和等价转化思想12（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A4BC4D考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V=4，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状13（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A+k，+k（kZ）B+k，+k（kZ）C+2k，+2k（kZ）D+2k，+2k（kZ）考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：由题意可得sinx+cosx0，即sin（x+）0，解三角不等式可得解答：解：sinx+cosx=，sinx+cosx0，即sin（x+）0，2kx+2k+，解得2kx2k+，kZ故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题14（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A39B40C41D43考点：对数的运算性质分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000（）x，由1000（）x1010，得x，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1000+10002=，2小时后，细胞总数为1000+10002=1000，3小时后，细胞总数为1000+10002=1000，4小时后，细胞总数为1000+10002=1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000（）x，xN*由1000（）x1010，得（）x107，两边取以10为底的对数，得xlg7，x，=39.77，x39.77即经过40小时，细胞总数超过1010个故选：B点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程15（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：把x0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x0时的函数的最大值，由对xR，都有f（x1）f（x），可得2a2（4a2）1，求解该不等式得答案解答：解：当x0时，f（x）=，由f（x）=x3a2，x2a2，得f（x）a2；当a2x2a2时，f（x）=a2；由f（x）=x，0xa2，得f（x）a2当x0时，函数f（x）为奇函数，当x0时，对xR，都有f（x1）f（x），2a2（4a2）1，解得：故实数a的取值范围是故选：B点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对xR，都有f（x1）f（x）得到不等式2a2（4a2）1，是中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上16（3分）求值：tan40+tan20+tan40tan20=考点：两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40+tan20=tan（40+20）（1tan40tan20），代入要求的式子化简可得解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40+20）=，tan40+tan20+tan40tan20=tan（40+20）（1tan40tan20）+tan40tan20=（1tan40tan20）+tan40tan20=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题17（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是12=，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是12=圆柱的高是3，几何体的体积是3故答案为：3点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度18（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=若|=，则=考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：连接AP，可得APOP，RtAPO中，AOcosAOP=OP，则有=可求解答：解：连接AP，则可得，APOP，=，|=，RtAPO中，AOcosAOP=OP=故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用19（3分）已知函数f（x）=+loga（a0且a1），且f（m）=7（m0），则f（m）=5考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=f（x）2，得到f（x）=g（x），代入即可得到f（m）的值解答：解：设g（x）=f（x）2=+loga2=+loga，g（x）=+loga=loga=f（x），f（x）=g（x），g（x）=f（x）2，f（m）=g（m）=f（m）+2=7+2=5，故答案为：5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）2，属于中档题20（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x）+1在上的面积为考点：正弦函数的图象专题：新定义分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，函数y=sin3x在0，上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x）=sin3（x）的图象，此时y=sin（3x）在上的面积为，将y=sin（3x）向上平移一个单位得到y=sin（3x）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤21（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，（，），求cos的值考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：（1）正弦函数y=Asin（x+）的周期T=，初相是；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（+）=，然后利用公式sin2+cos2=1和的取值范围得到cos（+）=，所以cos=cos（+），利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T=，初相=；（2）由f（）=，得3sin（+）=，则sin（+）=，又（，），+（，），cos（+）=因此，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题22（8分）已知，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）（1）若|=3，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与2垂直，求与的夹角考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：（1）因为，所以设=（2，），再由|=3，得到（2）+2与2垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角解答：解：（1）因为|=3，且，设=（2，），则=3，解得=3，所以=（6，3）或（6，3）；（2）因为|=，且+2与2垂直，所以（+2）（2）=0 即2=0，2523=0，解得=（10分）所以cos=1，又0，所以=，与的夹角为点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答23（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为COA=60记该梯形内部位于直线x=t（t0）左侧部分的面积为f（t）试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论POD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|CD|=|BE|=；所以，当POD，即t（0，1时，f（t）=tt=t2；当PDE，即t（1，2时，f（t）=（t1）+t=（2t1）；当PEA，即t（2，3时，f（t）=（1+3）（3t）2=（t2+6t5）；当PAx，即t（3，+）时，f（t）=（1+3）=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目24（8分）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，0，0）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（）f（+）的单调递增区间考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据三角函数的图象求出A，和的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=，即=2，则f（x）=Asin（2x+），0，由五点对应法知2+=，解得=，即f（x）=Asin（2x+），f（0）=Asin=1，A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（）f（+）=2sin（x+）2sin（x+）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1cos2x+s