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宜宾县课改联盟学校八年级数学（上）导学案 使用单位可在此处添加本校文化等内容第11章 数的开方编号： 01 执教：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价平方根讲授+自主一、学习目标 1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根. 2.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.二、学习重点 平方根的概念、性质及求法.三、自主预习 1.填一填：= = = = = = 2.想一想：一个数的平方等于4，则这个数是 ；平方等于0.09的数有 ；平方等于的数有 ；平方等于0的数是 . 3.填空： ， ， ， ， ， ， ，你能填出哪些空？ 4.平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。想一想：平方等于2的数应如何表示呢？例:(1)2=1，1叫做1的平方根，(2)2=4， 叫做 的平方根，02=0， 叫做 的平方根，(0.7)2=0.49， 叫做 的平方根。 5.平方根的表示：一个正数a的正的平方根用符号表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用-表示。这两个平方根合起来可以记作 。这里符号读作“二次根号”，读作“二次根号a”。根指数是2时，通常将这个2省略不写，如记作读作“根号a”；记作，读作“正、负根号a”。例： ； 叫做 的平方根。 叫做 的平方根； 叫做 的平方根。6. 平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们互为 ；0有 个平方根，是 ；负数 .四、合作探究7.求下列各数的平方根（1）1.44 （2）196 （3） （4）解:(1)(1.2)2=1.44， 1.44的平方根是1.2即 =1.2 8.说出下列各式表示的意义，再化简。 五、巩固反馈【基础知识练习】1.如果x2=a，那么a是x的 ，x是a的 。2.任何一个正数的两个平方根的和等于 ；总可以实施开平方运算的数是 。3.如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是： （ ）A.1 B.-1 C.1 D.0【提高拓展练习】4.求下列各式中的x：（1） x2=144 （2）25x2-36=0 （3）3x2-75=05.求下列各数的平方根。 64 0.0576 49 3.写出各式的值：（1）= ；（2）= ；（3） ； （4） ；【中考考点链接】4. 若m-4没有平方根，则|m-5|= 。5. 一个正数x的两个平方根分别为a+1和a-3，则a= ，x= 。资源链接： 平方根与开平方 开平方的概念及开平方与平方的关系：求一个数a平方根的运算叫做开平方我们不难看到，5与-5的平方都是25，25的平方根是5与-5。就是说，平方与开平方互为逆运算。根据这种运算关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根。编号： 02 执教：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价算术平方根讲授+自主一、学习目标1. 了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2. 了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3. 了解算术平方根的性质.二、学习重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个非负数的算术平方根.三、自主预习1.平方根的三种表达形式：定义 文字叙述 符号语言 2. 一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，是 ；负数 。3. 填空(1) (2) (3) 算术平方根不可能是负数。(4) (5) 。4. 实例1 若正方形的面积等于5，求正方形的边长是多少？5. 算术平方根的概念：我们规定若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0。6. 算术平方根的性质：一个正数有 个算术平方根，是 ；0有 个算术平方根，是 ；负数 。四、合作探究7.求下列各数的算术平方根：(1)900 (2)1 (3) (4)121解：(1) 302=900，900的算术平方根是30，即=30；(2) (3)(4)8. 填空： 。9. 算术平方根与平方根的区别与联系(1)平方根与算术平方根的区别： ；(2)平方根和算术平方根的联系： 。10.填空：（1）0.0196的算术平方根是 ，平方根是 ； （2）的算术平方根是 ，平方根是 ； （3）算术平方根等于本身的数有： 。11. 的非负性：（双重非负数性）定义中的a和x都为正数，又由于=0，负数没有算术平方根。所以算术平方根的非负性及其特性：对于式子，当a0时，才有意义，并且也是非负数，即0。非负数的特性：若非负数之和等于零，则每个非负数必取零。若+=0，则a=0且b=0。练习：（1） 若+=0，则x= ，y= （2）填空：()2= , ()2= , ()2= ， ()2= ， ， 。归纳：对于非负数a，则有 ； 五、巩固反馈【基础知识练习】1. 填空题（1）若一个数的算术平方根是，则这个数是_。（2）的算术平方根是_。（3）(1.44)2的算术平方根为_，平方根为 。（4）的算术平方根为_，平方根为 。（5）=_，= ，= 。2. 求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2 (2)(3.9)2 (3)2.25 (4)2【提高拓展练习】3.若的整数部分是a，则小数部分为 ；4.已知，求x,y,z的值5.一个数的算术平方根为a，比这个数大3的数为（ ） A. B. C. D.【中考考点链接】6. 大于且小于的整数是 .7. 若，则= . 编号：03 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价立方根自主+精讲一、学习目标 1. 理解立方根的概念。 2. 会表示一个数的立方根，并学会求一个数的立方根。 3. 理解立方根的意义，并会正确区分立方根与平方根。二、学习重点 了解立方根的概念，会求一个数的立方根。三、自主预习1.熟记10以内数的立方： 2.计算：22= ；= ； 23= ；若x3=8，则x= 。观察这些算式之后我们发现：我们可以采用探究的形式，利用类比平方根的方法来展开本节知识的学习。3.立方根的概念： 一般地，若一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数x就叫a的 （也叫三次方根），如2是8的立方根，是 的立方根，0是 的立方根。4.立方根的符号表达： 每个数a都只有一个立方根，表示为 （根指数3不能省略哦）。如：x3= 7 ，x是7的立方根，即：x=，而（2）3=8 ，所以2是8的立方根，即=25. 立方根的性质： 23=8，43= ； (3)3=27，(5)3= ； 0 3=0。 有没有其他的数的立方也等于8，等于64，等于27，等于125，等于0？正数有 立方根；负数有 的立方根；0的立方根是 。四、合作探究6.求下列各式中的x x3=27 x364=0 x3 = -0.008 x3 = 解：x3=27 x=x=37.例：求2 的立方根。解：2 = ()3= 的立方根为即=练习：求下列各数的立方根 0.008 343 0.5128.计算：= = = -=9.开立方的定义： 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数，表示为：（a为任何数），开立方与立方互为逆运算。10.填空()3= ， = 。你发现了什么？()3= ， = 。即时练习：()3= ， ()3= ， = 。五、巩固反馈【基础知识练习】1. -125的立方根是 ， -8的立方根是 ，-125的立方根是 ，= ，（-1）2014的立方根是 ，64的平方根的立方根是 ，立方根等于它本身的数有 .2. 选择题 -7的立方根用符号表示，正确的是：（ ） A. B. C. D. 下列说法正确的是：（ ） A.的立方根是2 B.的立方根是 C.(1)2的立方根是1 D.-3是27的立方根【提高拓展练习】3. 求下列各式中的x(1) 125x3+343=0 (2) x3= 【中考考点链接】4. 若为整数，则最小正整数x的值是 。5. 计算：= 。6. 已知是m的立方根，而是x的相反数，且，求x与y的平方和的立方根。编号：04 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价实数讲授+自主一、学习目标1.能对实数按要求进行分类、进一步领会分类的思想；2.能类比有理数理解实数的相反数、倒数、绝对值的概念；3.了解实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步领会数形结合思想。二、学习重点1.理解实数的概念2.能正确、快速的对实数按要求进行分类三、自主预习1.复习数轴、相反数、倒数、绝对值的概念； 正整数 整数 02.有理数的分类：有理数 3.无理数的概念在电脑上计算=1.41421356237它的结果是无限不循环小数。无理数： 。4. 实数的概念： 。5.实数的分类： 正有理数按定义分： 0 有限小数或 小数； 有理数 负有理数 实数 正无理数 无理数 负无理数 小数0既不是正数也不是负数 正实数按正负分： 实数 0 负实数四、合作探究6. 把下列各数填入相应的集合内：-7.5，,4, ,0.31, ,，0.3737737773（相邻两个3之间的7逐次加1），0，. （1）有理数集合： ； （2）无理数集合： ；（3）正实数集合： ； （4）负实数集合： . （5）分数集合： .7.实数与数轴上的点的对应关系：想一想：（1）如图1，正方形边长为1，则对角线OB的长为（后面的14章我们会学习如何算出OB的），以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点A。数轴上点对应的数是什么？ ，它介于哪两个数之间？ 。（2） 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？（3） 如图2，通过14章的学习，我们能得到线段AB=,AC=,AD=2，AE= 图1 图2 由此可见：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即：实数与数轴上的点是一一对应的。 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。8.实数的相反数、倒数、绝对值的意义：对于带根号的数，应先看能不能开方，再求！ 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。例如，和互为相反数，和互为倒数，9.求下列各数的相反数、倒数和绝对值实数0相反数倒数绝对值10.有关绝对值的问题：（1）已知一个数的绝对值是，求这个数.（2）若，求的值.（3）求绝对值小于的所有实数的积.（4）若，求的值.解：（1）因为，所以这个数是或； （2）因为，所以或 （3）如图：数轴上表示绝对值小于的所有实数中包括了0 互为相反数的两数的绝对值相等，千万不要忽略负数。 因此它们的积为0. （4） 11.练习：完成下列各题。（1）求的绝对值 （2）已知一个数的绝对值为，求这个数（3）若，求 （4）若，求的值 五、巩固反馈【基础知识练习】1.下列说法正确的是（ ）A.无限小数都是无理数； B.正数、负数统称为实数；C.带根号的数都是无理数； D.无理数的相反数还是无理数。2.判断题：（1）任何实数的偶次幂是正实数.（ ）（2）在实数范围内，若| x|=|y|则x=y.（ ）（3）0是最小的实数.（ ）（4）0是绝对值最小的实数.（ ）（5） 一个有理数与一个无理数之和一定是无理数。（ ）（6） 两个无理数之和一定是无理数。（ ）3.填空：的相反数是 ； 的绝对值是 ；的倒数为 ； 绝对值等于的数是 。4.把下列各数分别填入相应的集合中：， 0.2020020002（1）有理数集合： ；（2）无理数集合： ；（3）正实数集合： ；（4）负实数集合： 。【提高拓展练习】5.求下列各式中的.(1) （ 2） (3) （4） 【中考考点链接】6. 写出两个-10之间的无理数。7.已知a,b为两个连续整数，且a、，=填空）6.要使根式有意义，那么x的取值范围是_.四、合作探究7.典例分析例1 的平方根是 ，算术平方根是 。 的平方根是 ，算术平方根是 。例2 判断下列计算中哪些正确:(1) （ ） (2) （ ）(3)（ ）例3 的平方根是 ；若的平方根是，则= ；若的立方根是2， 则= ；的立方根是 。例4 已知实数x.y满足（2x-3y-1）+=0， 求2x-y的平方根。 五、巩固反馈【基础知识练习】1. 选择题（1）如果一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是（ ） A.1 B.1 C.1 D.0（2） 的算术平方根是（ ） A.9 B.9 C.3 D.3（3）下列说法中正确的是（ ） A.和3.14都是无理数 B.和1.732都是无理数 C.不是无理数 D.是无理数。（4）下列叙述中正确的是（ ） A. 任何实数都有互为相反数的两个平方根 B. 零的立方根为零 C.的平方根是 D. 无理数就是带根号的数来源2. 填空： （1） 9的算术平方根是 ；3的平方根是 ； 0的平方根是 ；2的平方根是 .（2） 1的立方根是 ,的立方根是 , 9的立方根是 .（3）的相反数是 , 倒数是 , -的绝对值是 ， 的相反数是 。（4） 比较大小: ； 2.35.(填“”或“”)（5） ； ； = .【提高拓展练习】3. 求下列各式的值： (1) （2） （3） （4） (5) （6） （7）【中考考点链接】4.已知，求的平方根.5.已知的平方根是，4是的算术平方根，求的值.6.已知是的整数部分, 是的小数部分, 求的值.第12章 整式的乘除编号： 06 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价 同底数幂的乘法（1）探究+精讲一、学习目标 1.能叙述同底数幂的乘法性质并会用式子表示。 2.能根据同底数幂乘法性质进行简单的计算。 3.体会和感悟由特殊到一般的归纳思想方法。二、学习重点 同底数幂的乘法法则及简单运用。三、自主预习1.（1）乘方运算的结果叫做幂。 （2）填空：=( )( )( ) = = （3）24的底数是 ，指数是 ，它表示 个 相乘。（4）（3）2的底数是 ，指数是 ，它表示 个 相乘。2.根据乘方的意义“做一做”：（1） ；（2） 。将（1）（2）用字母表示为：（ ）（ ）提示：观察（1）（2）的运算结果，你能否直接写出下面（3）（4）的结果。（3）（4）想一想：上面（1）（4）的计算，有什么共同规律？结论：同底数幂相乘， 不变，指数 。用式子表示为： （m,n为正整数）。3.计算：（同底数幂的乘法） 解：原式= （底数不变，指数相加） = =做一做： 四、合作探究4.简单应用：（1）判断下列计算是否正确，并简要说明理由。 ( ) ( ) ( ) ( ) x5+x7=x12 （ ） x4+x4=x16 （ ）（2） 快速计算： = = =5. 由可拓展为 (m、n、p为正整数)练习： 6. 与合并同类项混用： 五、巩固反馈【基础知识练习】1. 判断题： ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 快速计算：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【提高拓展练习】3. 计算（结果用幂的形式表示）（1） （2） （3） （4）【中考考点链接】4. 下列计算中：；，其中正确的个数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知：，且，求的值。编号： 07 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价 同底数幂的乘法（2）自主+精讲一、学习目标1.能熟练根据同底数幂乘法性质进行的计算。2.会灵活处理同底数幂乘法中的符号问题及公式逆用问题。3.对于底数为较复杂的多项式，会用“整体”思想进行运算。二、学习重点 同底数幂的乘法的灵活运用，运用公式计算中处理符号、逆用问题。三、自主预习1. 同底数幂相乘，底数 ，指数 ，用符号表示为 ， 。 2.计算： 四、合作探究3.底数变复杂啦！计算： 4负号来捣乱了！ 计算 （你有哪些处理负号的方法？告诉你的小伙伴）例： （解决“各个幂中的负号问题”） （用“几个负数相乘的原则”解决符号问题） （同底数幂相乘）即时练习1： 探究： 即时练习2： 5公式反着用呢！ （1）请将公式的左右两边对调写一遍：_. （2）填空： = （3）若，求的值。解：（同底数幂相乘公式逆用） （整体代入） 即时练习3：已知，求的值。五、巩固反馈【基础知识练习】1. 计算（直接写出答案）：= = = = = =【提高拓展练习】2. （1）已知，求n的值 （2）已知，求n的值。3. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值。【中考考点链接】4. 已知：，用含m的代数式表示= 。5. 若，求的值。 编号：08 执教人： 课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价幂的乘方（1）探究+精讲一、学习目标1. 能理解幂的乘方的意义，并能用符号语言准确描述。2. 经历探索幂的乘方的运算法则过程，理解幂的乘方的运算法则，并进一步发展推理及归纳能力。3.会区分同底数的乘法、幂的乘方等运算。二、学习重点理解并正确运用幂的乘方及运算。三、自主预习1. 填表合并同类项同底数幂的乘法举例底数指数2.乘方的意义 =10 = 3.什么叫幂的乘方底数是，指数是3，意义是4的2次幂的3次方底数是 ，指数是 ，意义是 ；底数是 ，指数是 ，意义是 。四、合作探究4. 幂的乘方的运算法则 = （乘方的意义） = （同底数幂的乘法） = = = = = ：幂的乘方等于底数不变，指数相乘。5. 快速计算： = = = = = = = = = 6. 负号捣乱来了： = = = 即时练习：= （2） = （3） = （4）= 7.同底数幂相乘也出现了：= = 8.整体出现了小试身手：计算 五、巩固反馈【基础知识练习】1. 快速计算= = = = = 82 23= 2. 下列计算是否正确，请改正。 3. 计算：（1） （2） （3） （4） （5） （6）【提高拓展练习】4. 计算：（1） （2） （3） （4）【中考考点链接】5. 当m是正整数时，在；中， 成立的有 。（填序号）6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D.编号： 09 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价幂的乘方（2）自主+精讲一、学习目标1.进一步理解幂的乘方法则，并能熟练进行计算。2.会区分同底数的乘法，合并同类项及幂的乘方运算法则。3.对底数较为复杂的多项式，会用整体思想进行运算。二、学习重点 熟练运用幂的乘方并灵活运用。三、自主预习1. 填表合并同类项同底数幂的乘法幂的乘方举例文字语言符号语言2. ， ， ， -23= ， （-2）4= ， 。四、合作探究3.公式反着来 由试一试：（1） （2）已知b2m=，则 b3m= ,b4m= .练习：已知xm=2,xn=3,求x2m x3m x2mx3n4. 合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的综合运算。 5. 若6.若 练习：若五、巩固反馈【基础知识练习】1. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.2.计算：（1） （2） （3）【提高拓展练习】3.（1）如果 （2）已知，求的值。 4. 计算（1） （2）(3) (4) 【中考考点链接】 5.若则等于 （ ） A. B. C. D.以上都不对6. 若 7.编号：10 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价积的乘方（1） 探究+精讲一、学习目标1.能说积的乘方性质，并会用式子表示。2.了解积的乘方性质的推导过程和根据。3.会进行积的乘方的运算。二、学习重点理解并正确运用积的乘方的运算法则。三、自主预习1.填表：合 并 同 类 项同 底 数 的 幂 相 乘幂 的 乘 方公 式系数_，字母及字母的指数_ 底 数 指 数 例 题2.快速计算： 指数，求n次乘方幂的运算 底数ab是一个乘积3.理解积的乘方的含义： 底数是 a与b的积 指数是 2 ,意义a与b的积的二次方 ；（3a)4 底数是 ，指数是 ，意义 ； (mn)3 底数是 ，指数是 ，意义 ；(ab)n 底数是 ，指数是 ，意义 。4.公式的推导： （乘方的意义） （乘法的交换律） 5.对于等式你能说明理由吗？（ ）（ ）（为整数） 积的乘方等于每个因式的_。一般地，我们将20以内的平方数，5以内的立方数，以内的数算出结果。例1 ：直接运用积的乘方公式进行计算。 解： （积的乘方） 解：=（ ）2（ ）2 （每个因式的乘方的积） = )=2=(=)2 = = 即时练习1： 四、合作探究：想一想：三个或三个以上的乘方有同样的性质吗？ _6.。 解：原式=( )n( )n 解：原式=( )2 )2 解：原式=( )2( )2 解：原式= = = = =小结：运算顺序是先乘方，再乘除，最后进行加减。即时练习2：计算： = = = = =五、巩固反馈【基础知识练习】1. 判断题： ( ) ( ) （ ）()3=3( ) （ ） ( )2. 计算结果正确的是( ) （A）（B）（C）（D）3.直接写出答案：= = = = 【提高拓展练习】 4.计算：（1） （2） （3） （4）【中考考点链接】5. 下列各式正确的是 （ ）A. B. C. D.6.已知n是正整数，且，求的值。7.已知，求的值。编号：11 执教人：课 题课型学生姓名组别学生评价教师评价积的乘方（2）自主+精讲一、学习目标1.熟记积的乘方运算法则。2.能运用积的乘方性质的解决实际问题。3.能熟练把积的乘方性质与幂的乘方，同底数幂相乘进行混合运用。二、学习重点灵活运用积的乘方的运算性质解决有关综合题型。三、自主预习1.填表： 合 并 同 类 项同底数的幂相乘幂 的 乘 方积 的 乘 方公 式1.系数_2.字母及字母的指数_底 数指 数例 题2.快速计算： 四、合作探究3.积的乘方性质的逆用，即： =（ = 变式：即时练习1： （ ）2 =_ （为