2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示讲义新人教A版选修2.doc

31.5空间向量运算的坐标表示1空间向量运算的坐标表示运算坐标表示a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b32空间向量的平行与垂直的坐标表示平行或垂直平行或垂直条件的坐标表示a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)平行(ab)abab(R且b0)垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b303空间向量的长度公式及夹角的坐标表示(1)空间向量长度公式的坐标表示若a(a1，a2，a3)，则|a| ，即|a| .空间两点间的距离公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，a.(x2x1，y2y1，z2z1)bdAB| .(2)向量的夹角坐标公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则cosa，b.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于空间任意两个向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，若a与b共线，则.()(2)空间向量a(1,1,1)为单位向量()(3)若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)()答案(1)(2)(3)2做一做(1)(教材改编P97T1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6) Bab(2，1，6)Cab10 D|a|6(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则_.(3)若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则x_，y_.(4)已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b_.答案(1)D(2)(3,3,3)(3)(4)探究1空间向量的坐标运算例1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求ab，ab，ab，(2a)(b)，(ab)(ab)解ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)；ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2,0，6)；ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47；(2a)(b)2(ab)2(7)14；(ab)(ab)(2，2,2)(2,0，6)22202(6)8.拓展提升空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法1根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算2熟练应用有关的公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(ab)(ab)a2b2.3空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆计算(2a)(b)，既可以利用运算律把它化成2(ab)，也可先求出2a，b后，再求数量积【跟踪训练1】已知a(2，1,3)，b(0，1,2)，求：(1)ab；(2)2a3b；(3)ab；(4)(ab)(ab)解(1)ab(2，1, 3)(0，1,2)(20，11，32)(2，2,5)(2)2a3b(4，2,6)(0，3,6)(4,1,0)(3)ab(2，1,3)(0，1,2)20(1)(1)327.(4)(ab)(ab)a2b2419(014)9.探究2利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题例2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BMAC1于点M，求点M的坐标解由题意，知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)因为，所以0.所以a(xa)a(ya)az0，即xyz0.因为，所以xaa，ya，za(R)，即xaa，ya，za.由，得x，y，z.所以点M的坐标为.拓展提升(1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标(2)用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现，如证明直线ABCD，可转化为证明0，由向量的坐标运算即可完成【跟踪训练2】(1)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)，设a，b.()若kab与ka2b互相垂直，求k的值；()设|c|3，c，求c.解()a(1,1,0)，b(1,0,2)，kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2bk(1,1,0)2(1,0,2)(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(k1)(k2)k280，即2k2k100，解得k2或k.()c，又(2，1,2)，设c(2，2)，又|c|3，(2)2()2(2)29，得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点求证：()AB1GE，AB1EH；()A1G平面EFD.证明如图，以A为坐标原点，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)由中点坐标公式，得E，F，G，H.()(1,0,1)，.因为2，110，所以，即AB1GE，AB1EH.()，.因为00，00，所以A1GDF，A1GDE.因为DFDED，所以A1G平面EFD.探究3利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题例3(1)已知向量a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围；(2)棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点()求证：EFCF；()求与所成角的余弦值；()求CE的长解(1)由已知，得ab5(2)3t13t，因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为0，则存在0，使ab(0)，即(5,3，1)，所以进而得t.故实数t的取值范围是.拓展提升求角与距离问题的方法及解题步骤(1)求空间中两向量夹角的方法基向量法：结合图形，选取一组合适的基底，将两向量用基向量表示出来，然后代入夹角公式求解；坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解利用坐标法要注意两点，一是坐标系的选取，二是夹角的范围a，b0，要特别注意向量共线的情况(2)求空间中线段的长建立恰当的空间直角坐标系；求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标；利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长【跟踪训练3】(1)已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A. B. C. D.答案C解析ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)2025t22t252.(|ba|2)min.|ba|min.(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.CD.答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)所以(2，2,3)，(2，2,0)所以cos，0.即所求余弦值为0.1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系向量的坐标即终点坐标减去起点坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.2.向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；向量关系代数化：即写出向量的坐标；求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.3.用空间向量的数量积解决夹角问题空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.1与a(1,2,3)，b(3,1,2)都垂直的向量为()A(1,7,5) B(1，7,5)C(1，7,5) D(1，7，5)答案C解析因为(1，7,5)(1,2,3)114150，(1，7,5)(3,1,2)37100，所以与向量a(1,2,3)，b(3,1,2)都垂直的向量为(1，7,5)故选C.2已知a(2，3,1)，则下列向量中与a平行的是()A(1,1,1) B(2，3,5)C(2，3,5)D(4,6，2)答案D解析若b(4,6，2)，则b2(2，3,1)2a，所以ab.故选D.3设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A. B. C. D.答案C解析AB的中点M，又C(0,1,0)，所以，故M到C的距离|CM|.4若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为_答案3解析因为b(2,0,3)，c(0,2,2)，所以bc(2,2,5)又a(2，3,1)，所以a(bc)(2，3,1)