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与一次函数相关的竞赛题及其解法班级 姓名 一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜.1 一次函数的性质问题一次函数(是常数,0)的性质大致如下:(1)它的图象是经过点()和()的一条直线;(2)它的系数符号决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况),如图1所示.例1 已知一次函数,则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有 个,即第 象限.例2 已知,并且,那么一定经过( )A.第一、二象限 B.第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限 2 一次函数图象上的特殊点问题一次函数图象上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、定点(恒过某一点)、整点以及两个一次函数图象的交点等.例3 函数的图象如图2所示,则点A与B的坐标分别是A ,B 例4 如图3在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么, 3 一次函数的图象与面积问题一次函数的图象与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示,使面积问题与坐标建立联系.例5 设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(=1,2,3,2000).则1+2+3+2000的值为 ( )A. B. C. D. 例6 如图4,直线与轴,轴分别交于点,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC,且BAC=90.如果在第二象限内有一点P(,),且ABP的面积与RtABC的面积相等,求的值.4 一次函数的应用问题一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系,构建一次函数模型,再利用一次函数的性质求出问题的解.例7 某家电生产业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工作时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表1表一家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器,彩电,冰箱各多少台才能使产值最高?最高产值多少(以千元为单位)?与一次函数相关的内容是十分丰富的,如大家非常熟悉的用待定系数法求解析式等,在这里就不一一赘述.【练 习 题】1. 一个一次函数的图象与直线平行,与轴、稠的交点分别为A,B并且过点(-1,-25).则在线段AB上(包含端点A,B),横、纵坐标都是整数的点有( )A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 2.如图,直线与轴,轴分别交于A,B两点,把AOB沿AB翻折,点O落在C处,则点C的坐标是多少?3.在直角坐标系中,轴上的动点()到定点(5,5)、(2,1)的距离分别为和.当最小值时,点的横坐标 4.求证:不论为何值,一次函数的图象恒过一定点.(提示:此题是“直线束”问题,可先由两条特殊直线求得交点坐标,在证明其
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