计算水力学02.ppt

第二章离散方法 预测自然界和水利工程中水流和输运现象的问题 可归结为求解形式不同的微分方程组 按照现象本身的复杂程度和工程实践所要求的精细程度不同 待解的微分方程组可能具有各种不同的形式和不同的组合 但一般说来 水流输运问题中遇到的微分方程 总可以化作统一的形式 通用微分方程 本章将研究求解通用微分方程的数值计算方法 李光炽 计算水力学 电子计算机问世以来 数值计算技术发展异常迅猛 计算方法千姿百态 纷纭复杂 本章试以加权余量法 MethodofWeightedResiduals 为总纲 分析一些主要的计算方法的出发点和基本原理 了解目前比较流行的计算方法 如有限差分法 有限单元法 边界元法等 在计算方法系统中所处的位置及其相互联系 理解各类计算方法的实质 本章的后面部分 着重介绍本课程中采用的计算方法 有限体积法的基本原理和实现原则 李光炽 计算水力学 2 1加权余量法 一 加权余量法的基本思想设有区域中的微分方程 李光炽 计算水力学 其初始条件为 边界条件为S u 0 引入近似解 边界法 区域法和混合法 李光炽 计算水力学 近似解可按各种不同的方式构造 满足微分方程 使R 0 但不满足边界条件 这类方法称为边界法 满足边界条件 使 但不满足微分方程 这类方法称为内部法 InteriorMethod 或区域法 DomainMethod 既不满足微分方程 也不满足边界条件 这类方法称为混合法 在区域法中 可将近似解写为 李光炽 计算水力学 式中是已知的解析函数 通常称为试函数 上式相应地称为试解 为待求的系数 x t 应适当选定 以满足初始条件和边界条件 试函数应为完整函数组中的线性独立函数 还应具有必要的连续阶数 才可保证余量R不为零 将试函数代入微分方程 必然产生非零余量R 李光炽 计算水力学 如果恰为精确解 R为零 对于近似解 R不为零 李光炽 计算水力学 加权余量法的基本思想 就是令余量R的加权积分为零 使余量R在平均的意义上为零 从而得到待求的未知系数的代数方程式 其数学表达式为 i 1 2 3 N 式中称为权函数或检验函数 如果权函数也是完整函数组中的线性独立函数 数学上可以证明 当项数N趋于无穷大时 满足上式的试解收敛于精确解 李光炽 计算水力学 线性独立的权函数组 i 1 2 3 N 可构成N维空间 将余量R看作权函数空间中的矢量 该矢量为零矢量的充分必要条件是 矢量在各个空间坐标上的投影为零 即该矢量与各个空间坐标矢量的内积为零 权函数绝不是唯一的 余量R是否为零 可以放到任意的多维空间中加以检验 只要权函数是线性独立的 且取自完整的函数组 选取不同的权函数组 便形成不同的方法 二 子区域法 SubdomainMethod 李光炽 计算水力学 设计算区域划分为N个可重迭但不重合的子区域 将权函数取为 则对于N个不同的子区域 可得到N个方程 由此可解出R中所含的N个未知数 例1 求解方程边界条件为设易知其满足边界条件 作为第一次近似 取整个计算区域o x l作为唯一的子区域可解出 作为第二次近似 取两个子区域 o x 0 5和0 x 1 可得解得 二阶近似解为原方程的精确解为 子区域法计算结果 三 配置法 CollocationMethod 李光炽 计算水力学 若将权函数取为狄拉克 Dirac 函数 i 1 2 3 N 则i 1 2 3 N这就是说 余量R不是在平均意义上为零 而是在选定的N个空间点上为零 这些点通常不必在计算区域中规则地分布 李光炽 计算水力学 泊松方程的二维求解区域 例2在图示的区域中求解泊松方程 李光炽 计算水力学 泊松方程 边界条件为 取u的近似表达式为 李光炽 计算水力学 为简单起见 设a b 先考虑式中的一项 得 在点 0 0 令 为零 可得 李光炽 计算水力学 若取两项近似 则有 在 o o 和 两点令 为零 得 李光炽 计算水力学 解得 在点 0 0 近似解 和精确解 配置法的效果与有限差分法一致 都是使求解的微分方程在计算区域的若干点上得到满足 而不计及因变量在这些点之间的变化 从这个意义说 有限差分法可解释为没有试函数的配置法 李光炽 计算水力学 四 伽辽金法 GalerkinMethod 李光炽 计算水力学 伽辽金法是一种特殊的加权余量法 其权函数恰取为试函数 即 i 1 2 3 N 在伽辽金法中 基本式成为i 1 2 3 N 李光炽 计算水力学 例3等宽渠道中的水流 y方向的分速度u近似为零 则由连续方程 可知 x方向的流速u仅为y的函数 u u y 由此得到层流时x方向的动量方程为 式中p为压力 李光炽 计算水力学 将动量方程对y积分两次 并带入边界条件 y 0时 u 0 y h时 u 0 得 等宽渠道中的水流 上式即为两平板间的普阿塞 Poiseuille 流的解 李光炽 计算水力学 采用伽辽金法求解此问题 设解的形式为 注意到上式满足边界条件 将其代入动量方程得 李光炽 计算水力学 即 解得 故 李光炽 计算水力学 塞流的计算结果 李光炽 计算水力学 图三种加权余量法中的试函数和权函数 五 矩法 MethodofMoments 李光炽 计算水力学 若将权函数取为级数1 x 的各项 则基本式成为 加权余量R的越来越高阶的 矩 被令为零 矩法由此得名 i 0 1 2 3 N 李光炽 计算水力学 例4用矩法求解常微分方程 边界条件为u 0 u 1 0设近似解为 如果只取前两项 李光炽 计算水力学 则余量为 李光炽 计算水力学 李光炽 计算水力学 李光炽 计算水力学 六 最小二乘法 Least squaresMethod 李光炽 计算水力学 将权函数取为余量R对未知系数ai的偏导数 就是最小二乘法 其效果等价于令余量R的内积取得极小值 正是从这个意义考虑 此法被称为最小二乘法 2 2各类计算方法的联系和比较 李光炽 计算水力学 一 谱方法和离散方法 在用加权余量法求出未知系数ai并代入近似解式求出计算区域中任意一点的因变量的数值 如此安排试函数和未知函数 给出的是总体近似 GlobalApproximation 如果试函数恰取为所求解方程的本征函数 则这种总体近似的方法与数学物理方法中介绍的分离变量法相一致 采用总体近似的各类方法 又称为谱方法 SpectralMethod 李光炽 计算水力学 所关心的问题往往不是因变量在整个计算区域中的分布 而是因变量在空间若干特定位的数值 将因变量在给定点的数值直接作为未知系数ai 并求解这些数值 作为满足实际需要的解答 正是一切离散方法的出发点 为了用因变量在特定点的数值ai来描述因变量在整个计算区域的分布 我们可将计算区域划分为许多子区域即单元 假设因变量在单元内的分布规律 据此将因变量在单元内的分布描述为单元节点上因变量数值的函数 这样 总体近似被单元内的近似所代替 总体近似函数被单元内的插值函数 又称形函数 所代替 原先不具有明确意义的未知系数ai被单元节点上因变量的未知数值所代替 这种近似称为局部近似 LocalApproximation 这种方法称为离散方法 李光炽 计算水力学 李光炽 计算水力学 二 各类加权余量法的比较 李光炽 计算水力学 伽辽金法精度高 应用范围广 最小二乘法用于求解椭圆问题 精度与伽辽金法相当 但不适用于时间抛物问题和本征值问题 子区域法的精度接近伽辽金法 易于应用 且与守恒定律相映照 物理意义明确 配置法精度较差 但易于推演算式 如果采用正交配置法亦能获得较高的精度 李光炽 计算水力学 表各类加全权余量的比较 李光炽 计算水力学 在选择计算方法时 除去考虑采用何种加权余量法以外 还应适当选择试函数的形式 才能提高精度 可以毫不夸张地说 选择合宜的试函数 是一门艺术 建议注意以下三点 1 试函数应满足边界条件和初始条件 应为完整函数组的最低阶的函数 2 尽可能利用待解问题的对称性质 3 与待解问题相近的问题的精确解 可作为理想的试函致 三 有限差分法 有限单元法和谱方法的比较 李光炽 计算水力学 有限单元法和谱方法可看作是加权余量法的两个分支 有限单元法采用局部近似的低阶多项式作为试函数构成关于因变量的节点值的代数方程 谱方法则采用总体近似的正交试函数以获得较高的精度 差分法用有限差分替代微分方程中的导数并要求所得的代数方程在网格节点上得到满足 有限差分法可视作没有试函数的配置法 李光炽 计算水力学 2 3有限体积法 李光炽 计算水力学 有限体积法又称为控制体积法 基本思路是 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积 并使每个网格点周围有一个控制体积 将待解的微分方程对每一个控制体积积分 便得出一组离散方程 其中的未知数是网格点上的因变量的数值 为了求出控制体积的积分 必须假定值在网格点之间的变化规律 即设定值的分段的分布剖面 从积分区域的选取方法看来 有限体积法属于加权余量法中的子区域法 从未知解的近似方法看来 有限体积法属于采用局部近似的离散方法 李光炽 计算水力学 子区域法加离散 就是有限体积法的基本方法 有限体积法能得出直接的物理解释 离散方程的物理意义 就是因变量中在有限大小的控制体积中的守恒定理 如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样 有限体积法得出的离散方程要求 因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足 对整个计算区域 自然也得到满足 这是有限体积法的吸引人的优点 有一些离散方法 例如有限差分法 仅当网格极其细密时 离散方程才满足积分守恒 而有限体积法即使在粗网格情况下 也显示出准确的积分守恒 李光炽 计算水力学 恒定一维热传导问题的控制方程为 式中K为热传导系数 T为温度 S为单位体积内热量的产生率 李光炽 计算水力学 李光炽 计算水力学 李光炽 计算水力学 采用分段线性剖面计算导数 得 式中为S对于控制体积的平均值 李光炽 计算水力学 标准形式 可见 中心节点的温度TP出现在方程的左方 相邻点的温度和源项产生的常数b形成方程右端各项 在二维和三维的情况下 相邻节点的数目增加 但离散方程仍保持这样的形式 还可缩写为 式中脚标nb表示相邻节点 求和记号表示对所有相邻点求和 李光炽 计算水力学 在推导公式的过程中 采用了线性插值公式计算dT dx 这并不意味着线性插值公式是唯一可行的选择 事实上 许多其它形式的插值函数都是可行的 而且 不必对方程中的各量均采用相同的插值公式 也不必对方程中的各项均采用相同的插值公式 采用不同的插值公式 自然会得出不同的离散公式 必须认真选择插值公式 使得离散方程的解即使在粗网格情况下也能保证物理的合理性和总体的平衡 物理的合理性是指数值解答应与精确解具有同样的定性变化趋势 李光炽 计算水力学 总体平衡的要求 是指整个计算区域的积分守恒 不仅在网格极其细密的情况 而且对于任何数目的网格点 热通量 质量通量和动量通量与相应的源或汇项一起 必须满足总体平衡要求 物理上合理的和不合理的解答 李光炽 计算水力学 图2 7物理上合理的和不合理的解答 李光炽 计算水力学 源项通常是因变量T的函数 在构造离散方程时需要知道源项和因变量的函数关系 为了能够使离散方程是易于求解的线性代数方程 我们希望将源项写为因变量的线性函数 式中Sc表示的常数部分 SP是TP的系数 注意 SP并不是S在P点的数值 这种表示源项的方法 实质上假定P点的温度TP控制着整个控制体积 李光炽 计算水力学 将源项线性化以后 离散方程系数aP和b的定义发生了变化 所得方程为 2 4有限体积法的四条基本原则 原则1 控制体积交界面的一致性当一个表面为相邻的两个控制体积所共有时 在这两个控制体积的离散方程中 通过该表面的通量的表达式必须相同 李光炽 计算水力学 最好将通量看作是交界面本身处的属性 取用交界面处的导热系数 考虑P点控制体积交界面e的热通量为 而当考虑E点周围的控制体积时 该面的热通量却为 李光炽 计算水力学 抛物线插值引起的通量不一致 原则2 正系数 在大多数水流输运问题中 节点上因变量的数值只通过对流过程和扩散过程受到相邻节点的影响 所以 当其它条件不变时 一个节点上数值的增加 必引起相邻节点数值的增加而不是减少 对于通用方程 可知相邻节点系数和中心节点系数必定同号 系数的数值可以全为正值或全为负值 不妨规定离散方程的系数皆为正值 原则2可叙述为 中心节点系数和相邻节点系数必须恒为正值 李光炽 计算水力学 原则3 源项的负坡