线性代数期终考试卷.doc

线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1） 设A=,则ATA= （2） 在分块矩阵A=中，已知、存在，则（3） 设A=，B为三阶非零矩阵，满足AB=O，则r(B)=（4） 若X=，则X=（5） 三次代数方程=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=,B=P1=，P2=，则必有（ ）(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B(C)P1P2A=B (D)P2P1A=B(2)设A是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k为常数k0,，则(kA)*=( )(A)kA* (B)k2A* (C)k3A* (D)A*(3)若r(A)=r0)通过正交变化成标准型q=y12+2y22+5y32。 试求： （1）参数a的值。（4分） (2)所用的正交变化矩阵Q。（4分） （3）问q是否为正定二次型？为什么？（4分）8）(共7分)已知n阶矩阵A对任意n维向量x= ，y= 均有xTAy=0。试证A=O。二、试卷二1) 填空题 （每小题4分，共20分）（1） 设皆为阶矩阵，已知。若，则（2） 设为三阶非零矩阵，且，则(3)设三阶方阵A= ，B=其中均为三维列向量，且已知detA=3， detB=4,则det(5A-2B)= 。(4)已知齐次线性方程组的解空间是二维的，则 ,(5)设=,则 2) 选择题（每小题3分，共15分）（1） 设为阶矩阵，为维向量，则以下命题成立的是（ ）。A) 若有解时，也有解，则必可逆B) 若有解时，也有解，则必可逆C) 的解必是的解D) 的解与的解无任何联系(2)若是矩阵，是矩阵，下列命题不成立的是（ ）。A) 若则的第列（1，2，.,m）是以第列的元素为系数作的列向量的线性组合。B) 若则的第行（1，2，.,m）是以第行的元素为系数作的行向量的线性组合。C) 且，则的行向量组线性无关D) 且，则的任意个行向量必线性相关（3）设是的基础解系，则在下列向量组中也是基础解系的是（ ）。A) ,B)C) ,D) 与等价的向量组(4)已知二次型是正定的，则的取值范围是（ ）。（A） （B） (C) (D) (5)若阶矩阵、满足，则必有（ ）。（A）（B）（C）（D）若、皆可逆，则3）（9分） 设线性方程组问、取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无限多组解，试写出无限多组解的通解表达式。4）（9分）给定两组向量，；其中，（1） 试证及分别线性无关；（2） 设，若有问是否可逆？若可逆，求出.5）（9分）给出四个维向量组（A）；（B）；（C）；（D）.设已知组（A）与（B）的秩均为3，而组(C)的秩为4，试问向量组（D）的秩等于多少？为什么？6）（9分）设二次曲面的方程 （）经正交变换化成求、的值及正交矩阵。7）（9分）设是一已知的阶矩阵，满足，试证可逆，并求出。8）（6612分）计算行列式(1); (2) 9)(8分)已知是任一阶方阵，试证：若有维向量使则向量组必线性无关。三、试卷三1） 判定下列命题是否正确，若正确在括号内填上“”；若不正确，在括号内填上“”（每题3分，共12分）（1）设为三阶实对称阵，其特征值为1，2，3，则为正定。（ ）（2）设，则为的一个基。（ ）（3）设为阶矩阵，为的个线性无关的解向量，则是的一个基础解系。（ ）（4）若线性相关，线性无关，则一定不能由线性表出。（ ）2） 填空题（每空3分，共15分）（1）设，则 ， ，（的转置伴随阵）， 。（2）设是两个正交的维（非零）列向量，则 （）。（3）设是正交阵，则 。3）（10分）设为实数，计算下列阶行列式4）（15分）讨论下列方程组在、取何值时，无解，有唯一解，有无穷多解；并求出当方程有无穷多解时的通解。5）（8分）若已知相似，且，试求中的元素之值。6）（10分）设，试求矩阵，使得等式成立。7）（10分）已知是二次型的矩阵之特征向量，试求出化该二次型成标准型的正交变换。8）（12分）已知阶矩阵、满足。（1） 试证为可逆阵，其中为阶单位阵；（2） 试证必有；（3） 若，试求出。9）（8分）设、是两个阶矩阵，且有个两两不相等的特征值，试证：（1）的每个特征向量必是的特征向量，（2）一定可对角化。四、试卷四1）（8分）已知向量是的特征向量，试求的值，其中，2）（6分318分）计算题（1） 求出9阶行列式的值：（2） 设矩阵满足，求矩阵。（3） 已知向量，试求与都正交的全部向量。3）（3分515分）填空题（1）已知矩阵的列向量线性相关，则 。（2）已知、均是三阶的非零阵，则 。（3）若，则 。（4）已知，是的一组基，则向量在这组基下的坐标是 。（5）已知是三阶方阵，则的行列式值为 。4）（3分515分）选择题（1）阶矩阵有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。（A）充分必要条件（B）充分但不是必要的条件（C）必要但不是充分的条件（D）既非充分也不必要的条件（2）阶矩阵、，下列各式中必成立的是（ ）。（A）（B）（C）（D）(3)设已知是线性方程组的两个解，则（ ）（A）是的解（B）是的解（C）是的解 (D) 是的解(4)若n阶矩阵A,B均可逆，AXB=C,则( )（A）（B） (C) (D) (5)设是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是 ，且已知，则（） （A）是A的特征向量 (B) 是A的特征向量(C) 是A2的特征向量 (D) 不是A2的特征向量5)(12分) 试对下列方程组讨论参数取何值时无解，取何值时有解并在有解的情况下求出其解。6)(10分)试求三阶正交矩阵Q，使正交变换x=Qy能将二次型 化成标准型。7)(10分)已知矩阵A=的特征方程有重根，试求出a的一切可能值，并分别说明a取各可能值时A能否对角化的理由 。8）（4分 +8分=12分）证明题：（1） 已知A是n阶幂零阵，既存在正整数k ，使Ak=O， 试证I-A是可逆阵，其中I是n阶单位阵。（2） 设A,B分别是及矩阵() ，已知AB=B以及r(B)=n ，试证A=I。五、试卷五1）选择题(1)设A=为分块矩阵，则AT = ( ) （3分）(A) (B) (C) (D) (2)已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） （3分）（A） (B) (C) (D) (3)设A是阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（3分）（A） 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解（B） 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解（C） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解（D） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解(4)都是n阶矩阵A的特征值，且分别是对应于的特征向量，当（）时， 必是A的特征向量。（3分）(A)且(B) 且(C) (D)中有且只有一个为零(5)二次型=的秩是（）（分）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42)填空题（1） 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式分别为5，3，7，4，则D的值为 。 （3分）（2） A=，则与A可交换的所有二阶方阵是 （3分）（3） 设矩阵A=，B=其中均为四维列向量，且已知行列式则( ) （3分）（4） 当值取 时，二次型是正定的。（5） 已知一个二次多项式，使得则： （3分）3)计算题（1）计算行列式D=. (6分)（2）求A=. (6分)(3)已知三阶矩阵A可对角化且特征值为1，1，2，设矩阵B=A3-5A2，（10分）试求：矩阵B的特征值；行列式及（I为三阶单位阵）.(4)已知6，3，3是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量,是属于特征值3的两个特征向量。 求A的属于特征值6的特征向量；求矩阵A。 （10分）(5)求出向量组的极大线性无关组，并把其余向量用极大线性