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南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号： 课程名称： 微 分 几 何 B卷 学分： 3 考试方式： 笔试闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120 分钟 年 月 日考试一、填空选择题（每小题4分，共24分）1. ； 2. AB ； 3. 0； 4. ； 5. ABC；6. 正则曲面的在这一点的形状算子的特征值。本题共6题，其中第3和5小题为综合提高题，其余为基本题。各小题考查的知识点如下：1、考核平面曲线相对曲率； 2、考核平面曲线的旋转指标定理和等周不等式以及直线的曲率性质；3、考核切线面与平面的局部等距和Gauss绝妙定理；4、考核正则参数曲面的第二基本形式计算；5、考核曲面基本例子（平面、圆柱螺面、球面，直纹面）的性质以及曲面上测地线、曲率线和渐近线的几何解释；6、考核主曲率的定义。二、解答证明题7、（12分）证明：首先由 ， 得到曲线的弧长参数。 （2分）计算曲线的曲率和挠率为 （4分）曲线Frenet标架 （6分）本题考核了空间曲线的弧长参数、Frenet标架、曲率和挠率的计算，此题是基本题，所考知识点都是课堂上强调为重点的内容，因此得分率较高。8、（12分）证明：由三个不共线的渐近方向对应Euler公式推出曲面的主曲率为零； （4分） 于是曲面上每点的主曲率都是零 。 （4分）利用主曲率定义说明形状算子为零，曲面单位法向量为常向量。 （4分）本题考核了学生对于曲面的渐近线的定义和Euler公式、主曲率处处为零的几何解释。此题方法基本，因此得分率较高。9、（20分）解：.直纹面 其中。 （3分）. 旋转面 其中。 （3分）曲面的切向量和法向量 得到第一类基本量，第二类基本量 （6分）形状算子为，则主曲率为 ，对应的主方向为 （4分）Gauss曲率和中曲率为 （4分） 本题考核了曲面的基本形式、曲面Gauss曲率、中曲率，主曲率和主方向的计算，都是课堂上强调为重点的基本内容，因此难度不大，得分率较高。10、（12分） 解： 计算切向量 （2分）由此得到曲面第一基本量 和除了 其他的Christoffel记号均为零。 （4分）然后讨论沿着 的曲线的平行向量场 满足初始条件和微分方程 （4分）最后解得 。 （2分） 本题考核了曲面Christoffel记号和切向量的平行移动，要求学生能熟悉定义的公式并且求解相应的常微分方程。此题为基本题，但是微分方程求解容易出错，得满分不太容易。11、（20分）.：计算第一基本量。 （3分）边界下圆周对应 利用Liouville公式得到， （3分）边界上圆周对应， 。 （2分）. 三角剖分画图 （3分）Euler示性数 。 （4分）(3).利用Gauss-Bonnet公式（注意边界的定向）得到全曲率 （3分） 或者利用公式 0 直接计算得到。 （2分）本题考核了部分锥面上的曲线的测地线，它的三角剖分，Euler示性数，
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