《高等几何》复习大纲及样题.doc

（0464）高等几何复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。射影平面一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。4.线坐标：线坐标的计算及其应用。5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。二、考试内容1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。变换群与几何学一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。3.二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。（0464）高等几何样题及答案一、填空题（每题2分，共10分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为： ；3、直线上的无穷远点坐标为： ；4、设(AB,CD)= ，则点偶 调和分割点偶 ；5、两个射影点列成透视的充要条件是 ；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（每题10分，共30分）1、 求仿射变换式使直线x2y10上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）2、 求射影变换的固定元素。3、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OAOB（此题为有向线段） 参考答案一、填空题1、平行四边形 2、 3、（2，-3，0）4、 AC , BD 5、保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。 对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。 对偶图形 就是自己三、计算题1解 设所求仿射变换为在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ， 由以上方程联立解得：2 ，=2 ,=-1 , =- ,=-2 ,= 故所求的仿射变换为：解 由题设的射影变换式，得 把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即得 由此得特征方程为:=0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=1 将u=1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0） 将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。把的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式（5），即得则特征方程为=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。 将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1，0，0）。 将v=1代入固定直线方程组，得u1=0,即通过点（1，0，0）四、证明题 1、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）=-1，得=-1 即 ACBD+ADBC=0 （1）把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OAOB+OCOD）=（OA+OB） （OC+OD） 2（OAOB- OC2）=（OA+OB）0 OAOB-OC2=0即 OC2=OAOB高等几何试题一、填空题（每题3分，共27分）1、 两个三角形面积之比是（ ）。2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。4、一点在一直线上的充要条件是（ ）。5、 已知,则=（ ），=（ ）。6、 如果四直线满足，则称线偶和 （ ）。7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（ ）。8、 不在二阶曲线上的两个点P，Q关于二阶曲线成共轭点的充要条件是（ ）。9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。二、计算题（每题8分，共56分）1、 计算椭圆的面积（椭圆方程： ）2、 求共点四线，的交比。3、 求射影变换的不变元素。4、 求二阶曲线经过点的切线方程。5、 求双曲线的渐近线方程。6、 求抛物线的主轴和顶点。7、 求使三点，顺次变到点， 的仿射变换。三、已知，验证它们共线并求的值。（8分）四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。（9分）答案一、 1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、9、这个变换使圆点保持不变二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为经过仿射变换 其对应图形为圆。 在仿射变换之下，所以对应，其中，根据定理3.6推论2，有 所以 因此所给椭圆的面积为。2、解：化为齐次方程： 取为基线，则有 由定理1.11的推论，得 3、解：由方程 得 所以 ， （重根） 将代入（3.4.3）得 于是得为不变点列（即轴），这条直线上的点都是不变点，因此这条直线是不变直线。4、解：将点的坐标代入二阶曲线方程中得 所以点在二阶曲线上，故切线方程为 即 亦即 为所求切线方程。5、解：设渐近线的方程为 根据（2.9）有 解之，得，所以渐近线方程为和化简，得所求为和。6、解：因为代入（4.11），得主轴为 即 解方程 得顶点之坐标为。7、解：设所求仿射变换为 于是有 解此方程组，得 ，故所求的仿射变换为 三、解：因为 且 所以共线。设 由 得