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理论力学作业及试卷中典型错解选评第三篇 动力学（二）题4-1 质量为m的物块放在质量为的光滑均质杆的中点上，杆系3根绳子保持在图4-1（a）所示的位置。已知，不计物块尺寸。试求当绳突然剪断时，绳的角加速度及绳中的张力。 错误解答：当剪断绳后，杆作转动。绳的角加速度为，点加速度。虚加的惯性力系向杆质心简化，其受力图如图4-1（b）所示。由达朗伯原理，取，轴如图所示，则有图4-1，所以 ，所以 ，所以 错因分析：（1） 将绳剪断瞬时，杆与物块的速度均为零，但杆光滑，物块与杆之间将有相对运动。物块在杆上只是瞬时静止，相对滑动的速度为零，但相对滑动的加速度却不为零。上解中误认为物块在杆上静止不动，没考虑相对滑动的加速度。（2）杆作平动而非转动，其角加速度为零，显然惯性力向其质心简化的主矩应为零。上解中虚加了惯性力系主矩是错误的。 正确解答： 当剪断绳后，杆作平动，该瞬时绳的角速度为零，杆及物块的速度为零。杆平动的加速度为，物块相对于杆有加速度。若以物块为动点，杆为动系，则动系平动。根据牵连运动为平动时的加速度合成定理，有 以物块G为研究对象，其受力图如图4-1（c）所示。由质点动力学基本方程，有 所以 以整体系统为研究对象，其主动力，约束反力和虚加的惯性力如图4-1（d）所示。由平衡方程，有 ，即 得 于是，绳的角加速度为 ， ，所以 题4-2 质量为、长为的均质杆，其端装有不计质量的小轮，小轮可沿光滑斜面下滑。设初瞬时杆静止于铅垂位置，求开始下滑时A点的加速度及斜面的约束反力。错误解答：图4-2因为初瞬时杆铅垂，故开始下滑时，杆作平动。设开始下滑时点的加速度为，方向为沿斜面向下。由于杆作平动，故将惯性力系向质心简化，惯性力系的合力为，作用在质心。其受力图如图4-2（a）所示。由平衡方程，有 ， （1）所以 ， （2）所以 错因分析：杆从静止的铅垂位置开始运动后将作何种运动要加以论证。对于图4-2（a）来说，若对杆应用相对于质心的动量矩定理，可知，即，因为、均不为零。故杆不作平动而作平面运动。不加论证就断言杆作平动是错误的。正确解答：当杆从静止的铅垂位置开始运动后，杆将作何种运动？为了解答这一问题，对杆应用相对质心的动量矩定理图4-2（a），有 （1）因为、均不为零。再由质心运动定理 （2）由于、均不为零，故，由式（1）可见，即运动开始时杆的角加速度，故杆作平面运动。因初瞬时系统静止，故杆的初角速度，以为基点，质心的加速度为将惯性力系向质心简化，其主矢、主矩以及主动力、约束反力如图图4-2（b）所示。由平衡方程，有 ， （3）式中，故有 （4），即 解得 由式（4），有， （5）所以 题4-3 质量为、长为的均质杆放在光滑墙棱上，在杆与铅垂墙之间夹角为且时无初速释放。试求初瞬时质心的加速度和处的约束反力。错误解答：图4-3在无初速释放瞬时，杆的角速度为零，但角加速度不为零，设其沿顺时针转向。主动力，约束反力和向质心简化的惯性力系主矢、主矩如图4-3（a）所示。由平衡方程，有， （1）式中，故有 （2）而质心的加速度为 （3） ， （4）所以 错因分析：当杆在位置无初速释放时，由于棱角光滑，虽然杆相对棱角滑动速度为零，但滑动加速度不为零。杆上点相对于棱角有滑动加速度，沿杆方向。上解中认为点不但速度为零，而且加速度也为零，这实际上是把点当成定轴了，显然是不正确的。正确解答：当杆在位置无初速释放时，杆的角速度为零，但角加速度不为零。杆相对于棱角滑动的速度为零，但杆上点相对于棱角点滑动加速度不为零，因为由质心运动定理 可知，质心有沿杆方向的加速度，因此，杆上点有相对于棱角滑动的加速度，以为基点，则点的加速度为， （1）以杆为研究对象，设其角加速度沿顺时针方向，主动力、约束反力以及惯性力系向质心简化的主矢和主矩如图4-3（b）所示。由平衡方程，有 ， （2）所以 ， （3）式中，故有 于是 而质心的加速度为 ， （4）所以 题4-4不等高曲柄连杆机构中，曲柄，其上作用一力偶，连杆长，滑块上作用一力。各处摩擦不计。试求平衡时与的关系。错误解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为，给曲柄虚位移，则、两点的虚位移如图4-4所示。由虚位移原理，有 （1）曲柄可作定轴转动，故点的虚位移，而与之间，有关系 （2）由几何关系知 （3）故有 即 （4）将式（4）代入（1），得 （5）所以 （6）错因分析：上解中式（3）是错误的。根据几何关系，应有而不是。由此导致式（4）、（5）、（6）都是错的。正确解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为，曲柄可绕轴转动，其虚位移为，点的虚位移。滑块受水平滑道约束，故其虚位移沿滑道如图4-4所示。由虚位移原理，有 （1）连杆可作平面运动，故、两点的虚位移在连线上投影相等，即 其中，由几何关系可知，故有 即 （2）将式（2）代入式（1），得图4-4 因，所以，有 另解：用求解。取坐标如图4-4所示，则力的投影，于是，有 （3）点的坐标为 ， （4）因、之间的高差为常数，故有 求变分，有 所以 （5）将式（4）、（5）代入式（3），有得 题4-5 在图示的铰接四边形机构中，。在重为的均质杆上有一与杆铰接的套筒。杆的端连接一刚度系数为的弹簧，并知当时弹簧为原长。在杆上作用一力偶。试求平衡时的大小。错误解答：图4-5给杆虚位移，则点的虚位移，套筒的也即杆的虚位移为 而 ，弹簧的弹性力 （1）由虚位移原理，有 （2） 即 或 （3） ，故得 错因分析：1 上解中将杆的重力的虚功漏掉了。2 弹性力的计算式1是错误的。在系统处于平衡状态时，弹簧已发生了实际的变形，虚位移只是一种为约束所容许的、一切可能的无穷小位移，它不是真实发生的实位移，因此，在计算弹性力时，不能把虚位移也计算在内。正确解答：系统具有一个自由度，广义坐标取为。弹簧为非理想约束，故应将其解除，代以约束反力，并将其视为主动力。弹性力为 （1）杆可作定轴转动，它的虚位移为，而点的虚位移则为。由于该结构为铰接平行四边形机构，故杆可作平动。套筒相对于杆可滑动。若以套筒为动点，杆为动系，则套筒的绝对、相对、牵连虚位移之间的关系为 （2）其中 。将式（2）在竖直方向投影，有。由虚位移原理，有即 将式（1）代入，并因，故有题4-6 平行四边形机构如图，其中。在铰、之间所连弹簧的刚度为，原长为。在杆上作用一力偶，在点作用一竖向力。各杆重不计，各处光滑，试求平衡时力偶的值。错误解答：图4-6系统具有一个自由度，广义坐标取为。弹簧为非理想约束，应将其解除，代以约束反力，并将其视为主动力。弹性力为 （1）取坐标轴如图4-6所示。各力在轴上的投影分别为 ，各力作用点的坐标及其变分分别为，由虚位移原理，有 （2）即 ，将式（1）代入上式，所以有 （3）错因分析：功的分析表达式是在惯性参考系中导出的，只在惯性参考系中适用，也就是说，式中的坐标、都是对于惯性参考系的。虚位移原理的分析表达式应同样只在惯性参考系中适用，也即，式中的坐标、都应是对于定坐标系写出的。故而在应用虚位移原理的分析表达式时，必须先建立坐标系而且必须是固定不动的坐标系。上解中所取坐标系中，轴是可动的而非固定的，因此是错误的，由此导致了计算结果的错误。正确解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为。解除属于非理想约束的弹簧，代以约束反力并视其为主动力。弹性力为 （1）取坐标轴如图，各力在坐标轴上的投影分别为，各力作用点的坐标及其变分分别为，由虚位移原理的分析表达式，有 （2）即 ，所以有将式（1）代入上式，得题4-7 在图示平面机构中，。在图示位置水平，且、在同水平线上。在上作用一力偶，在滑块上作用一力。试求平衡时，力偶与力的关系。错误解答：杆、可作定轴转动，杆可作瞬时平动，杆、可作平面运动。给杆虚位移，则、两点的虚位移相等，因杆的瞬心与杆的转轴重合，且，故，于是，点虚位移为 （1）由虚位移原理，有 即 （2）因，所以有 （3）错因分析：上解中式（1）是错误的。因为刚体作平面运动时，速度投影定理讲的是，平面运动刚体上任何两点的速度在两点连线上投影相等。对于可作平面运动刚体上两点虚位移的投影，也应按此定理计算。式（1）是将、两点的虚位移在水平方向投影相等而得到两点虚位移之间的关系，显然是错误的。正确解答：图4-7系统具有一个自由度，、点的虚位移如图4-7所示。因为只有一个虚位移是独立的，故必须建立各虚位移之间的关系。杆可作定轴转动，给虚位移，则点的虚位移为。杆可作瞬时平动，故其上任一点的虚位移均相等，即 杆可作平面运动，其瞬心恰与杆的转轴重合。设杆绕瞬心转动的虚位移为，则有 但 杆可作定轴转动，设其绕转轴转动的虚位移为，则有 由此可见，而点虚位移为 杆可作平面运动，其上、两点的虚位移在、两点连线上投影相等，即，由虚位移原理，有即 ，题4-8 图示滑轮系统悬吊质量均为的、三个物块，且滑轮与绳的质量不计，试求各物块的加速度。错误解答：图4-8设物块、的加速度、向下，由几何关系可知块的加速度为 （1）方向向上。、三点的虚位移为、，因系统具有两个自由度，故只能有2个独立虚位移，设为、，则点的虚位移为 （2）如图4-8所示。由动力学普遍方程，有即 或 （3） 因为 、彼此独立，故欲使式（3）成立，必有 、前面的系数为零，于是，有 （4） （5）由式（5），有，代入式（4），得因，所以因，所以 错因分析：上解中物块的加速度式（1）和虚位移式（2）都是错误的。由此便导致了计算结果的错误。因为绳长为常量，由图4-8所示坐标可知，其约束方程为 （6） 上式对时间求二阶导数，得 将式（6）求变分，得 由此可见，上解中式（1）、（2）是错误的。正确解答：系统具有两个自由度，广义坐标取为、。因为绳长为常量，故有约束方程 上式对时间求二阶导数，得或 即 或将上述约束方程求变分，得 惯性力、主动力如图4-8所示。由动力学普遍方程，有 或 因为 、是彼此独立的，且均不等于零，故欲使上式得以满足，只有 、前面的系数同时为零，于是，有 （7） （8）由式（7），得由式（8），有 （9）但的大小为，所以，有代入式（9），得，所以 题4-9 质量为、半径为的均质圆盘，其边缘上的点处系一长为的绳，绳端悬吊一质量也为的小球（不计尺寸），试写出系统的运动微分方程。错误解答：系统具有两个自由度，广义坐标为、。因为作功的力为有势力，故系统是保守的。系统的动能为 其中 （1）图4-9如图4-9所示。故有 （2）取点为势能的零位，故系统的势能为 拉格朗日函数为 由拉格朗日方程，有 （3） （4）代入拉格朗日方程之中，有即 （5）由拉格朗日方程，有 （6） （7）代入拉格朗日方程，有 （8）错因分析：1计算动能时，点速度计算是错误的。因为点的速度应以广义速度、来表示，而广义坐标、的正向已取定，故、应与、正向一致，上解中式（1）将的正向取反了，故式（1）是错误的，由此导致了一系列的错误。2上解中式（3）计算有误。因为将对时间求导数应为。式（6）犯有同样的错误。正确解答：系统具有两个自由度，广义坐标为、。因为作功的力为有势力，故为保守系统。系统的动能为 其中 即 如图4-9所示。取点为势能的零位，故系统的势能为 拉格朗日函数为 由拉格朗日方程，有 代入拉格朗日方程 ，得由拉格朗日方程 ，有 代入拉格朗日方程 ，得 题4-10 质量为、半径为的均质圆柱，可在水平面上作纯滚动。圆柱中心由刚度系数为、原长为的弹簧系住，又在圆柱中心用光滑铰连接一质量为、长为的均质杆。取图4-10所示的、为广义坐标，试建立系统的运动微分方程。图4-10错误解答：系统具有两个自由度，广义坐标为、，由于作功的力均为有势力，故系统为保守系统。系统的动能为 （1）式中 ，代入上式，有 （2）取点为重力势能零位，原长处为弹性力势能的零位，故势能为 （3）拉格朗日函数 由拉格朗日方程 ，有 （4）于是，有 （5）由拉格朗日方程 ，有 （6）于是，有 （7）或 错因分析：1系统动能计算式（1）中，杆的动能错误。杆作平面运动。上解式（1）误将杆视为绕轴作定轴转动。2上解式（4），偏导数计算是错的，应为，同样，式（6）中是错的，应为 由于上述错误，导致计算结果全部错误。正确解答：系统具有两个自由度，广义坐标为、，由于作功的力均为有势力，故该系统为保守系统。圆柱、杆均作平面运动，故系统的动能为 式中 ， 于是，系统的动能为即 重力势能的零位取在点，弹性力势能零位取在原长处，故系统的势能为 拉格朗日函数 由拉格朗日方程 ，有 于是，有 或 由拉格朗日方程 ，有 于是，有 或 题4-11 一轮子的圆轴半径为，沿半径为的轨道作无滑动的滚动。轮轴的总质量为，对其质心的回转半径为。试求在平衡位置附近作微小振动的周期。图4-11错误解答：应用动静法求解。轮轴作平面运动，惯性力系的主矢和主矩、主动力、约束反力如图4-11所示。由平衡方程，有 ， （1）式中，代入上式，得或 系统微小振动的圆频率为振动的周期为错因分析：上解中图4-11将惯性力系主矩方向画错了。因为按照、的正向可知的正向，又由瞬心可知，轮轴的角加速度应为反时针方向，故惯性力系主矩应为顺时针方向。由此导致了计算结果的错误。正确解答：在振动过程中轮轴作平面运动，作功的力只有重力，故系统是保守的，机械能守恒。取角为广义坐标，当时为系统的平衡位置。因轮轴作无滑动的滚动，故轮轴的角速度和轮心的速度分别为 如图4-11所示。取平衡位置时轴心为重力势能的零位置，故在平衡位置势能为零，机械能为最大动能 在最大偏离时，故动能为零，最大的势能为全部的机械能，即 因为系统作微小振动，是小量，故最大势能为 由机械能守恒定律，有 即 保守系统作自由振动时其振动规律为简谐的，即 代入上式，得于是有周期为 用动静法求解，其主动力、约束反力和虚加的惯性力系主矢和主矩如图4-11所示。由平衡方程有，式中，代入上式，得因为是微小振动，有，故有振动的圆频率为周期为 题4-12 质量为的物块悬挂如图4-12所示，两弹簧刚度系数分别为和。若杆重不计，试求物块自由振动的固有圆频率及周期。错误解答：将系统简化为一个由两个弹簧串联的质量弹簧系统，如图4-12所示。串联弹簧的等效刚度系数为 图4-12 （1）故系统自由振动的固有圆频率为 （2）周期为 （3）错因分析：本系统中两个弹簧不位于同一铅垂线上，故不是一组串联弹簧，显然，按串联弹簧求解等效刚度系数的式（1）是错误的。由此导致了式（2）、（3）是错误的。正确解答：该系统为具有一个自由度的保守系统，物块的振动规律是正弦型的。取物块的平衡位置为坐标原点，且轴向下为正。如图4-12所示。设在任一瞬时，杆转过角，取系统的平衡位置为零势能位置，则动能为 （1）势能为 （2）以杆为研究对象，当其转过角时的受力如图4-12所示。由动量矩定理，因有，故 （3）式中 （4） （5）将（4）、（5）两式代入式（3），有 （6）当杆处于平衡位置时，其受力图如图4-12所示。由，有 （7）将式（7）代入式（6），得