全等三角形.第1讲.全等三角形的性质及判定.教师版.doc

第一讲全等三角形的性质及判定中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形五边形这里符号“”表示全等，读作“全等于”全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲板块一 全等三角形的认识【例1】 考查下列命题：有两边及一角对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有_个 (2009四川遂宁)已知中，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个 (2009山东)如图，在中，垂足为分别是上的点，且如果，那么_ (2009浙江)如图，已知中，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是_ 【解析】 ，注：正确的是； ； ； 【例2】 如图所示，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.和的面积相等 B.和的周长相等C. D.，且【解析】 C【例3】 如图所示，在上，与相交于图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由【解析】 共10对全等三角形；【补充】在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由【解析】 有对：；理由略板块二、三角形全等的判定与应用全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础判定三角形全等的基本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型 由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【例4】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，求证：【解析】 ，又即【补充】如图所示：，求证：【解析】 连接，利用证明，【例5】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，、四点在同一条直线上，求证：【解析】 ，在与中 ， 【补充】(2008年宜宾市)已知：如图，求证： 【解析】 连结在与中 【补充】(2008年成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形中，为中点，连结并延长交的延长线于点求证：【解析】 又【例6】 如图，相交于点，、为上两点，求证：【解析】 ，在和中，在和中 ，【补充】已知，如图，求证：【解析】 在和 ，另一方法：面积法，等腰三角形两腰上的高相等【例7】 如图，垂足分别为，试说明【解析】 因为 (已知)，所以，因为，所以(直角三角形两锐角互余).所以 (同角的余角相等).因为，(已知)，所以 (垂直的定义).在和中，所以,所以， (全等三角形的对应边相等)，所以.所以【例8】 (2008年全国初中数学联赛)如图，设和都是正三角形，且，则 的度数是()A BC D【解析】 分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系解 易知，于是，从而注意到，可算出，选B【例10】 如图所示， 已知，证明：【解析】 ， ， 即在和中， ，()，在和中，()，【例11】 、分别是正方形的、边上的点，且求证：【解析】 在和中 【补充】、分别是正方形的、边上的点，求证：【解析】 显然，【例12】 在凸五边形中，为中点求证：【解析】 延长，交直线于，在与中在与中【补充】如图所示：，求证：【解析】 分别连接、，利用证得，利用证得，可先讲解变式，通过此例体会添加辅助线的基本切入点【例13】 （1）如图，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？图2【解析】 ABC与AEG面积相等.理由：过点C作CMAB于M，过点G作GNEA交EA延长线于N，则AMCANG90，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，BAECAG90，ABAE，ACAG，BAC+EAG180，EAG+GAN180，BACGAN，ACMAGN，CMGN.SABCABCM，SAEGAEGN，SABCSAEG.（2）解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，这条小路的面积为(a+2b)平方米.【例14】 如图，中，是上一点，且，交于点求证：【解析】 解法一：如图，连结，在与中，公共，解法二：连结，【例15】 (年全国初中数学联赛天津赛区)中，为上一点，使得，为上一点，使得，连、交于点试求的度数，并写出你的推理证明的过程【解析】 的度数为证明过程如下：如图过点作的垂线，使，连接、，于是因为且，所以四边形是平行四边形从而，又因为，得到，进而在与中，所以，这样，而，所以又因为，所以得到是一个等腰直角三角形，所以，利用，从而得到【例16】 (第届“希望杯”初二试题)如图，是的内心，且若，求和的大小【解析】 因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决如图，在上取点，使，连接因为，所以在和中，所以于是所以因为，所以，又是等腰的外角，所以，在中，所以【例17】 已知：是的高，点在的延长线上，点在上，求证：；【解析】 如图，设交于 由，知而，故由已知，有，从而，即有 由可得，而从而可得，即【例18】 如左下图，在矩形中，为延长线上一点且，为的中点求证： 如右下图，在中，、分别为边、的高，为的中点，于求证： 【解析】 如图，连结，为的中点四边形是矩形，为的中点，即， 如图，连结、分别为边、上的高又为上的中点，又，【例19】 如图，已知，且求证：是等腰三角形 【解析】 延长到，使得，连接，即，是等腰三角形【例20】 如图，为边长是的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交于，于，连接，形成一个求的周长【解析】 分析 考虑特殊情况，此时不难计算出的周长为，于是可考虑证明：，即证 采用截长补短法可解之解 延长到，使，连接易知在与中有，从而，于是在与中有：，从而，故说明 本题通过考虑特殊情况得到可能的结论，然后进行一般的证明从特殊性看问题，从极端情况考虑问题，从特殊到一般是数学中常用的思想方法【例21】 (2006浙江省绍兴市)我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们会全等？ 阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：、均为锐角三角形，求证：(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点，作于，于则， ， 归纳与叙述：由可得到一个正确结论，请你写出这个结论【解析】 又，又， 若、均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，则家庭作业【习题1】 (济南市2008年高中阶段学校招生考试)已知：如图， 求证：【解析】 ，即，【习题2】 已知：DEFMNP，且EFNP，FP，D48，E52，MN12cm，求：P的度数及DE的长.【解析】 DEFMNP，DEMN，DM，EN，FP，M48，N52，P180485280，DEMN12cm.【习题3】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长【解析】 ，在三角形与中，矩形周长为，且即【习题4】在四边形中，的平分线交于求证：当是的角平分线时，有【解析】 在上截取，使，连，则可得，知注意到平分，公用，月测备选【备选1】 如图所示：，、相交于点求证：平分【解析】 利用证得，根据已知可得，利用证得，利用证得，平分【备选2】 如图所示，在中，于点，求证：【解析】 由已知，知如果我们在上截取，连接，就可以构造出两个等腰三角形和如图，在上截取，连接因为，所以，于是，又因为，所以，于是，故【备选3】 如图，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE