热力学与统计物理练习题1答案.doc

热力学与统计物理 练习题1答案一、 简答题1 热力学第二定律的克氏表述；不能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。2 能量均分定理。对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的 平均值等于。3 单元复相系的平衡条件；（5分） 设有两相 则两相平衡条件为分别为热平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。 4 熵增原理。（5分）孤立系统的熵永不减少。二、计算机题1、试证明，在某一过程中理想气体的热容量如果为常数，这个过程一定是多方过程，多方过程指数，假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。解：根据热力学第一定律由，有，将代入上式，得 两边除以，再经整理，得到，经积分即得。2、图1.16所示的循环称狄塞尔（Diesel）循环。试证明，理想气体在狄塞尔循环中的效率为 ， 假设和是常数。解：狄塞尔循环为等压加热循环，在等压过程中，吸收热量，在等容过程中，放出热量，所以该循环的效率 （1）因为等压过程，所以 （2）因和为绝热过程，所以和（其中）由上两式，得到， （3）将（3）式代入（1）式，并考虑到（2）式，经化简之后，则得。3、试证明，一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。解：这可以由压力不变下，熵对体积的偏导数的符号证明之。就定压膨胀系数而论，选为独立变量是方便的；于是问题就归结于把 中的独立变量变换到独立变量。这可采用下面两种方法来做。(i) =因对均匀物体，；而 及，所以 的符号与的符号相同。即在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于温度随体积的增减。4、由热力学公式 及低温下电子气体的热容量，求电子气体的熵。解：已知在低温下电子气体的热容量为 按上面的结果，在时，我们有，这与热力学第三定律的要求相符合。5、在下，压力在0至1000atm之间，测得水的体积为：,如果保持温度不变，将1 mol的水从1 atm加压至1000 atm，求外界所作的功。解：写出 ，则 所要求的功 6、试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。解：已知平衡辐射场的熵为在可逆绝热过程中辐射场的熵不变，故有T3V = 恒量（25.5）由于， （1）上式说明平衡辐射场的压力与体积无关，可逆等压过程也就是可逆等温过程。图23.3从（25.5）和（1）式，可得在可逆绝热过程中，有恒量（2）下面计算此卡诺循环的效率。从等温膨胀过程12中，系统吸收热量在等温压缩过程34中，系统放出热量，在绝热过程23和41中，没有热量交换。所以，循环效率为（3）又因为状态2和3在同一条绝热线上；状态4和1也在同一条绝热线上，故分别得到；将上两式代入（3）式即得（4）这与以理想气体为工作物质的卡诺循环效率的公式相同。7、在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 （1）液态的蒸汽压方程为 （2）试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的溶解热。解：（）固态氨的饱和蒸汽压方程决定了氨的固态汽态的相平衡曲线；液态氨的饱和蒸汽压方程决定氨的液态汽态的相平衡曲线。而三相点是两条曲线的交点，因此三相点的温度满足下面方程： 解出，得 ；（）相变潜热可由公式 与实验公式（1）相比较而求得： 所以，。同理，。（）在三相点，所以，8、线性谐振子能量的经典表示为试计算经典近似的振动配分函数以及振动的内能和熵。解：对于线性谐振子，所以 （1）由N个经典振子组成的系统的内能U和熵S为（2） （3）。三、综合计算题1、 在图上范氏气体等温线上的极大点和极小点连成一条曲线（见图），请证明这条曲线的方程是：。并说明这条曲线分割出来的区域、的意义。解：（）范氏方程： 得： 因为等温线上的极大点和极小点应满足的条件，所以 或以此式代入物态方程得： 或 。（）在图中所示的区域是过热液体区，是过冷蒸汽区，是不能实现的状态，因为在此区域中， ，不满足平衡稳定性条件。2、 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1至T2，假设是常数，试证明前者的熵增为后者的倍。解：理想气体在准静态过程中，有（1）在等压过程中，熵增为（2）在等容过程中，熵增为（3）故（如Cp和CV是常数）。证明上式的另一种方法是：对于理想气体，我们已知 （15.5） （15.6）将上两式分别用于等容和等压过程，可得 热力学与统计物理 练习题2答案一、简答题1、设有两相 则两相平衡条件为 分别为热平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。2、 对于处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于二、计算题 1、 解：范氏气体的物态方程为 故气体对外界作功 。2、试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。解：据题意，本题就是要证明： 因为 即 上式中用到 和 。3、解：本题要求的是在蒸汽和液相经常保持平衡的情形下，确定饱和蒸汽的体积随温度的变化率，即沿着相平衡曲线推求随温度的变化率，因此， （1）把蒸汽看作理想气体，由此求得 和 （2）又按克拉贝龙方程 （3）将（2）式和（3）式代入（1）式，并去掉下角标以后即得 4、 解：粒子的配分函数是：（1）（2）（3）（4）（5）即（5） （6） （7） （8）5、 1 mol理想气体，在的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。解：（a）在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为, 因为 ，所以 。 （b）理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得 。6、求证 （a）; (b) 解：（a）由 得 =（b）由 ，得 =7、试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。解：（）设和分别表示相和相的摩尔内能。本题中要求相变中物质摩尔内能的变化 由于是平衡相变，有相变平衡条件 ，因为化学势，故上式可写成 故有 因为相变潜热，所以上式成为 （1）由（33.6）式的克拉贝龙方程中 （2）代入（1）式，即得 （3）（）若相为气相，相为凝聚相，则，由（2）式得到 代入（3）式，得 即 ， （4）8、试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的系统，熵函数可表为 式中是粒子处在量子态的几率，对粒子所有量子态求和。解：由玻耳兹曼分布知 （1） （2）是在能量为的每一量子态中的平均粒子数，所以 （3）是粒子处在能量为的一个量子态的几率，它满足归一化条件，即 （4）由（3）式知， （5） （6）其中我们利用了（4），（5），（6）三式。我们还可以采用另一种方法来证明。按能级求和与按量子态求和之间的关系： （8）由在上式最后一步，我们利用了（3）式与（8）式。所以 （10）三、综合计算题 1、 解：把物态方程写成 （1）则得 （2）所以即 （3）当p0时，上式右边第二项的， 所以。这与由理想气体状态方程所求得的相一致。又从（1）式可得 （5）所以 （6）当p0时，所以这与由理想气体状态方程所得的k相一致。就状态方程本身来说，即状态方程变成为理想