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北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形习题1-11.已知:如图，在菱形ABCD中，BAD=2B.求证:ABC是等边三角形.2.如图，在菱形ABCD中, BD=6, AC=8,求菱形ABCD的周长.3.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点o.求证: AC平分BAD和BCD, BD平分ABC和4 ADC4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,团中有多少个等接三角形和直角三角形? 答案： 1. 证明： 四边形 ABCD 是菱形， BC=AB,BC/AD, B+ BAD=180 （两直线平行，同旁内角互补） . BAD=2 B, B+2 B=180 ， B=60. BC=AB ， ABC 是等边三角形（有一个角为 60 的等腰三角形的等边三角形） .2. 解： 四边形 ABCD 是菱形， AD=DC=CB=BA, ACBD,AO=1/2 AC= 1/28=4 ， DO= 1/2 BD= 1/26=3. 在 Rt AOD 中，由勾股定理，得 AD=(AO+DO)=(4+3)=5. 菱形 ABCD 的周长为 4AD=45=20.3. 证明： 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB,ACBD ， DO=BO, ABD 是等腰三角形， AO 是等腰 ABD 低边 BD 上的高，中线，也是 DAB 的平分线， AC 平分 BAD.同理可证 AC 平分 BCD,BD 平分 ABC 和 ADC.4. 解：有 4 个等腰三角形和 4 个直角三角形 . 习题1-21.已知:如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分別与AD. AC. BC相交于点E, O, F.求証:四迫形AFCE是菱形.2.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD和交于点O，点E，F,G,H分別是OA, OB, OC, CD的中点，求证:四辺形EFGH是菱形。3.如图，在四边形纸片ABCD中，AD/BC, ADCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E,连接CE.你能确定时边形CDCE的形状吗?证明你的结论. 答案：1. 证明：在 ABCD 中， AD/BC, EAO= FCO （两直线平行，内错角相等） . EF 是 AC 的垂直平分线， AO=CO. 在 AOE 和 COF 中， AOE COF （ ASA ）， AE=CF. AE/CF, 四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） . EFAC, 四边形 AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） .2. 证明： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD,OA=OC,OB=OD. 又 点 E,F,G,H, 分别是 OA,OB,OC,OD 的中点， OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD, OE=OG,OF=OH, 四边形 EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） . AC BD, 即 EG HF, 平行四边形 EFGH 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） .3. 解：四边形 CDCE 是菱形 .证明如下：由题意得， CDE CDE. 所以 CDE= CDE,C D=CD,CE=C E. 又因为 AD/BC, 所以 CDE= CED, 所以 CDE= CED, 所以 CD=CE （等角对等边），所以 CD=CE=CE=CD, 所以四边形 CDCE 是菱形（四边相等的四边形是菱形） 习题1-31. 已知，如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF,求证：(1)ADE CDF,（2） DEF= DFE2. 证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。3. 如图，在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，且AC=16, BD=12,求菱形ABCD的高DH.4.已知:如图，在四边形ABCD巾，AD=BC,点E, F, C, H分別足AB，CD, AC,BD的中点，求证:四边形EGFH是菱形5.如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使 A为菱形的一个内角吗? 答案：1. 证明：（ 1 ） 四边形 ABCD 是菱形， AD=CD,AB=CB, A= C. BE=BF, AB-BE=CB-BF, 即 AE=CF.在 ADE 和 CDF 中， . （ 2 ） ADE CDF, DE=DF, DEF= DFE （等边对等角） . 2. 已知：如图 1-1-35 所示，四边形 ABCD 是菱形， AC 和 BD 是对角线 . 求证： S 菱形 ABCD=1/2 ACBD. 证明： 四边形 ABCD 是菱形， AC BD,AO=CO,BO=DO. S AOB=S AOD=S BOC=S COD=1/2 AO.BO. S 菱形 ABCD=41/2 AOBO= 1/22AO2BO=1/2 ACBD.3. 解：在菱形 ABCD 中， AC BD ， AOB=90 ， AO= 1/2 AC= 1/216=8 ， BO= 1/2 BD= 1/212=6.在 Rt AOB 中，由勾股定理，得 AB=(AO2+BO2 )=(82+62 )=10. S 菱形 ABCD=1/2 ACBD= 1/21612=96 ，又 DH AB, S 菱形 ABCD=ABDH, 96=ABDH, 即 96=10DH,DH=9.6. 菱形 ABCD 的高 DH 为 9.6.4. 证明： 点 E,F,G,H 分别是 AB,CD,AC,BD, 的中点， GF 是 ADC 的中位线， EH 是 ABD 的中位线， GF/AD,GF=1/2 AD,EH/AD,EH=1/2AD, GF/EH,GF=EH, 四边形 EGFH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又 FH 是 BDC 的中位线， FH=1/2 BC.又 AD=BC, GF=FH, 平行四边形 EGFH 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） .5.略习题1-41.一个矩形的对角线长为6,对角线与一边的夹角是45，求这个矩形的各边长，2.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60，对角线长为15,求这个矩形较短边的长.3.如图，在Rt ABC中，ACB=90, D为AB的中点，AE/CD，CE/AB,试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论。4.证明，如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 答案： 1. 解：如图 1-2-33 所示，设这个矩形为 ABCD ，两条对角线相交于点 O ， OA=OB=3. 在 AOB 中， OAB= OBA=45 ，于是 AOB=90 ， AB=(OB2+OA2 )=32, 同理 AD=32, 所以 BC=AD=32 AB=DC=32所以这个矩形的各边长都是 32.2. 解：如图 1-2-34 所示，设这个矩形 AB-CD 两条对角线相交于点 O ， AOB=60 ， AC=BD=15 ， AO=1/2AC=7.5 ， BO=1/2 BD=7.5 ， OA=OB, AOB 是等边三角形， AB=7.5.3. 解：四边形 ADCE 是菱形 .证明如下：在 Rt ABC 中， ACB=90 ， D 为 AB 的中点， CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB, AD=CD. AE/CD,CE/AD, 四边形 ADCE 是平行四边形 .又 AD=CD, 平行四边形 ADCE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 4. 已知：如图 1-2-35 所示，在 ABC 中， BO 为 AC 边上的中线， BO=1/2 AC. 求证： ABC 是直角三角形 .证明：如图 1-2-35 所示，延长 BO 到 D ，使 BO=DO, 连接 AD,CD. AO=CO,BO=DO, 四边形 ABCD 是矩形 . ABC=90. ABC 是直角三角形 . 习题1-51.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E,使DE=AD,连接BE, CE.(1)试判断四边形ABEC的形状;(2)当ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形?2.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM的平分线和ABN的平分线于点C,D试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论3如图，已知菱形ARCD,画一个矩形，使得A, B, C, D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍. 答案：1. 解：（ 1 ）四边形 ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） . （ 2 ）当 ABC 是直角三角形，即 BAC=90 时，四边形 ABEC 是矩形 . 2. 解：四边形 ACBD 是矩形 . 证明如下：如图 1-2-36 所示 . CD/MN, 2= 4. BD 平分 ABN, 1= 4 ， 1= 2 ， OB=OD （等角对等边） . 同理可证 OB=OC, OC=OD. O 是 AB 的中点， OA=OB, 四边形 ACBD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） .又 BC 平分 ABM, 3=1/2 ABM. BD 平分 ABN, 1= 1/2 ABN. ABM+ ABN=180 ， 2 3+2 1=180 ， 3+ 1=90 ，即 CBD=90. 平行四边形 ACBD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 3. 解：做法如下：如图 1-2-37 所示， （ 1 ）连接 AC,BD; （ 2 ）过 A,C 两点分别作 EF/BD,GH/BD; （ 3 ）同法作 FG/AC,EH/AH, 与 EF,GH 交于四个点 E ， F,G,H, 则矩形 EFGH 即为所求，且 S 矩形 EFGH=2S 菱形 ABCD.习题1-61. 如图，在矩形ABCD中，对角AC与BD相交于点O,ABC=30, BD=4,求矩形ABCD的面积.2. 如图,在矩影ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点A作BD的垂线，垂足为E，已知EAD=3BAE,求EAO的度数。 3. 已知:如图，在ABC中, AB=AC, D为BC的中点，四边多ABDE是平行四边形，求证:四边影ADCE是矩形。 4.如图，在矩彤纸片ABCD中，AB=6 cm,BC= 8cm，将矩彤纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长。 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3. AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，番足为E, F求PE+ PF的值。 答案：1. 解：在矩形 ABCD 中， AC=BD=4 ， ABC=90 ， ACB=30 ， AB= 1/2 AC= 1/24=2. 在 Rt ABC 中，由勾股定理，得 BC=(AC2-AB2 )=(42-22 )=23. S 矩形 ABCD=BCAB=232=43.2. 解：在矩形 ABCD 中， BAD=90 ，即 BAE+ EAD=90. EAD=3 BAE, BAE+3 BAE=90 ， BAE=22.5. EAD=3 BAE=322.5=67.5. AE BO, AEB=90, BAE+ ABE=90 ，即 22.5+ ABE=90 ， ABE=67.5. AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD, OA=OB, OAB= ABE=67.5. EAO+ BAE= OAB, EAO= OAB- BAE=67.5-22.5=45.3. 证明： D 是 BC 的中点， BD=CD. 四边形 ABDE 是平行四边形， AE/BC,AE=BD,ED=AB （平行四边形的性质） . AE=CD. AE/CD, 四边形 ADCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形） . AB=AC ， ED=AC, 平行四边形 ADCE 是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） . 4. 解：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合得到的图形如图 1-2-38 所示 . 折痕为 EF ，则 AE=CE,EF 垂直平分 AC ，连接 AC 交 EF 于点 O ，在矩形 ABCD 中， B=90 ， BC=8cm ，设 CE=x cm ，则 AE=x cm ， BE=BC-CE= （ 8-x ） cm.在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AE=AB+BE,X=6+ （ 8-x ） ，解得 x=25/2 ，即 EC=25/4cm.在 Rt ABC 中，由勾股定理，得 AC=(AB2+BC2 )=(62+82 )=10cm. OC=1/2=AC=1/210=5cm. EF AC, EOC=90. 在 Rt EOC 中，由勾股定理，得 EO=EC-OC,EO=(EO2-OC2 )=( （ 25/4 ） 2-52 )=15/4 cm ， 折痕 EF=2EO=2 15/4=15/2 cm. 5. 解：如图 1-2-39 所示，连接 PO.S 矩形 ABCD=AB.BC=34=12. 在 Rt ABC 中， AC=B(AB+BC)=(3+4)=5. 又因为 AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以 AO=DO=5/2. 所以 S AOD=S APO+S POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DOPE= 1/2 AO （ PE+PE ） =1/25/2 （ PE+PE ） =5/4 （ PE+PE ） . 又因为 S AOD= 1/4 S 矩形 ABCD= 1/412=3 ，所以 5/4 （ PE+PE ） =3 ，解得 PE+PE= 12/5.习题1-71.对角线长为2cm的正方形，边长是多少?2.如图，四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形，求AEB的度数. 3.如图，A, B, C, D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC.证明两条直路BP=AQ且BPAQ. 4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法? (至少说出三种)答案1. 解：设正方形的边长为为想 x cm ，则 x+x=2 ，解得 x=2 ，即正方形的边长为 2 cm.2. 解： 四边形 ABCD 是正方形， ABC= DCB=90 ， AB=BC=DC. CBE 是等边三角形， BE=EC=CB, EBC= ECB=60. ABE=30. AB=BE, AEB=BAE=(180- ABE)/2=(180-30)/2=75.3. 证明：如图 1-3-24 所示， 四边形 ABCD 是正方形， AD=D, BAD= D=90 ， AB=DA. PD=QC, AP=DQ ABP DAQ. BP=AQ, 1= 2. 2+ 3=90 ， 1+ 3=90 ，即 BP AQ. 4. 解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分 . 答案 不唯一，如图 1-3-25 所以方法仅供参考 . 习题1-81.证明:对角线相等的菱形是正方形.2.已知:如图，E, F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DE.求证:四边形AECF是菱形。 3.如图，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的? 4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形ABCO与正方形ABCD的边长相等.在正方形ABCO绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系?请证明你的结论. 答案:1. 答案 ：对角线相等的菱形是正方形 .已知：如图 1-3-7 （ 3 ）所示，四边形 ABCD 是菱形， AC,BD 是对角线，且 AC=DC. 求证：四边形 ABCD 是正方形 .证明： 四边形 ABCD 是菱形， AD=BC.又 AB=BA,BD=AC, ABD BAC （ SSS ） . DAB= CBA.又 AD/bc, dab+ cba=180. DAB= CBA=90. 四边形 ABCD 是正方形 .2. 证明： 四边形 ABCD 是正方形， AD=CB,AD/CB, ADF= CBE.在 ADF 和 = CBE 中， ADF CBE （ SAS ）， AF=CF, AFD= CEB. AFD+ AFE=180 ， CEB+ CEF=180 ， AFE= CEF （等角的补角相等） . AF/CE （内错角相等，两直线平行） . 四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） . AD=AB, ADF= ABE.在 AFD 和 AEB 中， AFD AEB （ SAS ） . AF=AE, 四边形 AECF 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） .3. 解：四边形 EFGH 是正方形 .在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD=AD, A= B= C= D=90.因为 AE=BF=CG=DH, 所以 AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即 BE=CF=DG=AH.所以 AEH BFE CGF DHG （ SAS ），所以 AEH,HE=EF=FG=GH. 所以四边形 EFGH 是菱形 .因为 AEH+ AHE=90 ，所以 DHG+ AHE=90 ，所以 EHG=90 ，所以菱形 EFGH 是正方形 .4. 解：重叠部分的面积等于正方形 ABCD 面积的 1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形 ABCD 面积的 1/4 ，即 S AOB=S BOC=S COD=S AOD= 1/4S 正方形 ABCD.重叠部分为四边形是，如图 1-3-26 所示 . 设 OA 与 AB 相交于点 E,OC 与 BC 相交于点 F. 四边形 ABCD 是正方形， OA=OB, EAO= FBO=45 ， AO BD.又 AOE=90- EOB, BOF=90- EOB, AOE= BOF, AOE BOF. S AOE+S BOE=S BOE+S BOE, S AOB=S 四边形 EBFO.又 S AOB=1/4 S 正方形 EBFO. S 四边形 EBFO=1/4 S 正方形 ABCD.第一章复习题（1-5）1.一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm,求它的边长。2.如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且OA= OB= OC= 0D=2/2AB,则四边形ABCD是正方形吗? 3.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗?为什么?4.一个菱形的周长是200cm,一条对角线长60cm,求:(1)另一条对角线的长度;(2)菱形的面积.5.证明:如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么以它的四边中点为顶点可组成一个正方形答案：1. 解：设该菱形为菱形 ABCD ，两对角线交于点 O ，则 AOB 为直角三角形，直角边长分别为 2cm 和 4cm ，则有勾股定理，得 AB=(OA2+OB2 )=(22+42 )=25 （ cm ），即林习惯的边长为 25 cm.2. 解：由 OA=OB=2/2 AB, 可知 OA2+OB2=AB2, 则 AOB=90.因为 OA=OB=OC=OD, 所以 AC,BD 互相垂直平分且相等，故四边形 ABCD 必是正方形 .3. 解：不一定是菱形，因为也可能是矩形 .4. 已知：如图 1-4-20 所示，菱形 BACD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=60cm ，周长为 200cm. 求（ 1 ） BD 的长；（ 2 ）菱形的面积 . 解：（ 1 ）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以 AB=1/4200=50 （ cm ），AC BD 且 OA=OC= 1/2 AC= 1/260=30 （ cm ）， OB=OD. 在 Rt AOB 中， OB=(AB-AO)=(50-30)=40 （ cm ） .所以 BD=2OB=80cm. （ 2 ） S 菱形 ABCD=1/2 ACBD= 1/26080=2 400 （ cm2 ） .5. 已知：如图 1-4-21 所示，在四边形 AB-CD ，对角线 AC BD,E,F,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点 .求证：四边形 EFPQ 为正方形 .证明： E,Q 分别为 B,AD 的中点， 四边形 EFPQ 为平行四边形 . AC=BD, EF=EQ. EFPQ 为菱形 . AC BD, EF EQ. QEF=90. 菱形 EFPQ 是正方形 . （6-10）6.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,求DAE的度数.7. (1)如果一个菱形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗?为什么?(2)如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗?为什么? 8.已知:如图，AD是ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E,交AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形.9.已知:ABC的两条高分别为BE, CF,点M为BC的中点.求证:ME=MF.10.已知正方形的对角线的长为L,求这个正方形的周长和面积答案6. 解 AC=EC, CEA= CAE. 由四边形 ABCD 是正方形 . 得 AD/BE, DAE= CEA= CAE.又 DAC= DAE+ CAE=45 ， DAE=1/2 DAC= 1/245=22.5.7. 解：（ 1 ）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形 .（ 2 ）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等 .8. 证明：如图 1-4-22 所示， AD 平分 BAC, 1= 2. DE/AC, 2= 3. 1= 3. AE=DE. DE/AC,DF/AB, 四边形 AEDF 是平行四边形 .又 AE=DE, AEDF 是菱形 .9. 证明：如图 1-4-23 所示， BE AC,ME 为 Rt BEC 的中线， ME=1/2BC.同理 MF=1/2BC, ME=MF.10. 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC=BD=l. 求正方形的周长和面积 . 解：正方形 ABCD 中， AB=BC, B=90. 在 Rt ABC 中， AB+BC=AC,2AB=l, 所以 AB=2/2l. 所以正方形的周长 =4AB=42/2 l=22 l,S 四边形 ABCD=AB2= （ 2/2 l ） 2=1/2 l2. （11-15）11已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,辻点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.求证:四边形CODP是菱形. 12.已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点M, P, N, Q分别在AO, BO, CO, DO上，且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是形. 13.已知:如图，在RtABC中，ACB=90, CD是OABC的角平分线，DEBC, DFAC，垂足分别为E, F.求证:四边形CEDF是正方形， 14.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts,则当t为何值时，四边形APQD是矩形? 15.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形?试说明理由。 答案：11. 证明： CP/BD,DP/AC, 四边形 CODP 是平行四边形 . 四边形 ABCD 是矩形， AC=BD. OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD, OC=OD 四边形 CODP 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） .12. 证明： 四边形 ABCD 是矩形， AC=BD. OA=OC,OB=OD,又 AM=BP=CN=DQ, OA-AM=OC-CN, 即 OM=ON,OB-BP=OD-DQ, 即 OP=OQ, 四边形 MPNQ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） . AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD, MN=PQ, 四边形 MPNQ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） .13. 证明：在 Rt ABC 中， ACB=90 ， CD 平分 ACB, FCD=1/2 ACB=45. DF AC, DFC=90.在 Rt FCD 中， FDC=90- FCD=90-45=45 ， FCD= FDC, FC=FD. DE BC, DEC=90. DFC= FCE= DEC=90. 四边形 DFCE 是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形） . FC=FD, 四边形 CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） .14. 解：由 AP=4t cm ， CQ=l cm ， 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC-CQ= （ 20-t ） cm. DQ=DC-CQ= （ 20-t ） cm.当四边形 APQD 是矩形时，则有 DQ=AP, 20-t=4t ，解得 t=4 当 t 为 4 时，三角形 APQD 是矩形 .15. 解： BFD 是等腰三角形，理由如下： 四边形 ABCD 是矩形， AD/BC, ADB= DBC. FBD= DBC, FBD= ADB, BF=DF. BFD 是等腰三角形 . (16-21)16.如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求ACF,AFC的度数. 17. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验(如图).小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验.小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾。你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗?你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形? 18.已知:如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H.求证:四边形EFGH是矩形. 19.你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗?在这些剪拼的过程中，剪下的困形是经过怎样的运动最后拼接在一起的?(1)平行四边形; (2)三角形; (3)菱形.20.将相应的条件填在相应的箭头上，使得下图能清楚地表达几种四边形之间的关系。21.已知两条对角线，利用尺规作一个菱形. 答案：16. 解由题意知，矩形 ABCD 矩形 GCDF, AB=FG,BC=GC,AC=FC, ABC FGC, ACB= FCG. ACB+ ACD=90 ， FCG+ ACD=90 ，即 ACF=90. AC=CF, ACF 是等腰直角三角形 .AFC=45.17. 解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等 .18. 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， BC/DA. DAB+ ABC=180. AH 平分 DAB,BH, 平分 ABC, HAB=1/2 DAB, HBA= 1/2 ABC.HAB+ HBA=90. H=90.同理可证 F=90 ， HEF=90. 四边形 EFGH 是矩形 .19. 解：略 . 提示：如图 1-4-24 所示图形仅供参考 . 20.略21.略 第二章一元二次方程习题2-11.根据题意，列出一元二次方程:(1)有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成i一个正方形， 这个正方形的边长是多少?(2)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242,这三个数分别是多少?2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: 3.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿坚拿都进不去，横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出一元二次方程。答案：1. 解：（ 1 ）设这个正方形的边长是 xm ，根据题意，得（ x+5 ）（ x+2 ） =54 ，即 x+7x-44=0.（2）设这三个连续整数依次为 x ， x+1 ， x+2 ，根据题意，得 x （ x+1 ） +x （ x+2 ） + （ x+1 ）（ x+2 ） =242 ，即 x+2x-80=0.2. 3. 解：设竹竿长为 x 尺，则门框宽为（ x-4 ）尺，高为（ x-2 ）尺 . 由勾股定理，得（ x-4 ） + （ x-2 ） 2=x ，即 x-12x+20=0.习题2-21.一个面积为120m2的矩形苗國，它的长比宽多2m.苗國的长和宽各是多少?2.有一条长为16m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 m的矩形?若能，则矩形的长、宽各是多少?3.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间1(s)和运动员距离水面的高度h(m)之间满足关系:h= 10+2.5t-5 t.那么他最多有多长时间完成规定动作?答案：1. 解：设苗圃的宽为 xm ，则长为（ x+2 ） m.根据题意，得 x （ x+2 ） =120 ，即 x+2x-120=0. 列表： 由表格知 x=10. （当 x=-12 时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）答：苗圃的宽为 10m ，长为 12m.2. 解：能 . 设矩形的长为 xm ，则宽为（ 8-x ） m.根据题意，得 x （ 8-x ） =15.整理，得 x-8x+15=0. 列表： 由表格知 x=5. （当 x=3 时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）答：可用 16m 长的绳子围城一个 15m 的矩形，其次为 5m ，宽为 3m.3. 解：根据题意，得 10+2.5t-5t2=5 ，即 2t-t-2=0. 列表： 所以 1t2. 进一步列表： 所以 1.2t0 ，所以原方程有两个不相等的实数根 . （ 2 ）这里 a=25 ， b=20 ， c=4. 因为 b-4ac=20-4254=0 ，所以原方程有两个相等的实数根 . （ 3 ）原方程变形为 4x+3x+1=0 ， 这里 a=4 ， b=3 ， c=1 ，因为 b-4ac=3-441=-70 ， x=(-b(b2-4ac)/2a=(426)/4 ， x_1=(2+6)/2 ， x_2=(2-6)/2. （ 2 ） 5x+2=3x 变形为 3x-5x-2=0. a=3 ， b-5 ， c=-2 ， b-4ac=25-43 （ -2 ） =490 ， x=(-b(b-4ac)/2a=(57)/6 ， x_1=2 ， x_2=-1/3. （ 3 ）（ x-2 ）（ 3x-5 ） =1 变形为 3x-11x+9=0. a=3 ， b=-11 ， c=9 ， b-4ac=121-108=130 ， x=(-b(b2-4ab)/2a=(1113)/6. x_1=(11+13)/6 ， x_2=(11-13)/6. （ 4 ） 0.2x+5=3/2 x 变形为 0.2x-3/2 x+5=0 ， a=0.2 ， b=-3/2 ， c=5 ， b-4ac= （ -3/2 ） -40.25=-