北师大附中2013届高三第二学期开学检测理科数学试题.pdf

1 北京师大附中 2013 届高三第二学期开学检测 理科数学试题 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 8 8 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 选出选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项 1 1 1 1 设集合 1 Px x 2 0 Qx xx 则下列结论正确的是 A PQ B PQ R R R R C P Q D Q P 2 2 2 2 函数sincosyxx 的最小值和最小正周期分别是 A 2 2 B 2 2 C 2 D 2 3 3 3 3 设等差数列 n a的前n项和为 n S 24 6aa 则 5 S等于 A 10B 12C 15D 30 4 4 4 4 甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所 示 12 x x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均 数 12 s s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准 差 则有 78 3557 23 89 4556 122 0 1 乙甲 A 12 xx 12 ss B 12 xx 12 ss C 12 xx 12 ss D 12 xx 5 5 5 5 阅读右面的程序框图 运行相应的程序 输出的结果为 A 13 21 B 21 13 C 8 13 D 13 8 结束 开始 输出 y x 1 1xy yz zxy xy 20za 函数xaxaxxfln 1 2 1 2 1 若曲线 xfy 在 2 2 f处切线的斜率为 1 求a的值 2 求函数 xf的极值点 19 本小题满分 14 分 已知抛物线 W 2 yax 经过点A 2 1 过A作倾斜角互补的两条不同直线 12 l l 求抛物线W的方程及准线方程 当直线 1 l与抛物线W相切时 求直线 2 l与抛物线W所围成封闭区域的面积 设直线 12 l l分别交抛物线W于B C两点 均不与A重合 若以线段BC为直径 的圆与抛物线的准线相切 求直线BC的方程 20 本小题满分 14 分 设3m 对于有穷数列 n a 1 2 nm 令 k b为 12 k a aa 中的最大值 称数 列 n b为 n a的 创新数列 数列 n b中不相等项的个数称为 n a的 创新阶数 例 如数列2 1 3 7 5的创新数列为 2 2 3 7 7 创新阶数为 3 考察自然数1 2 3 m m 的所有排列 将每种排列都视为一个有穷数列 n c 若m 5 写出创新数列为 3 4 4 5 5 的所有数列 n c 是否存在数列 n c 使它的创新数列为等差数列 若存在 求出所有的数列 n c 若不存在 请说明理由 在创新阶数为 2 的所有数列 n c中 求它们的首项的和 5 北京师大附中 2013 届高三第二学期开学检测 理科数学答案 一 选择题 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 题号12345678 答案CACBDCCD 二 填空题 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 9 9 9 310 10 10 10 1311 11 11 11 22 20 xyx 12 12 12 12 9 4 5 13 13 13 13 2 28 14 14 14 14 9 15 解 I xxxxxf 22 cossin2sin 2 3 2 2 1 6 2sin 2cos2sin 2 3 2cos 2 1 xxxx 最小正周期 2 2 T 由 26 2Zkkx 得 32 Zk k x 没有 k Z 扣 1 分 函数图象的对称轴方程为 32 Zk k x 7 分 II 22 sin 2 sin 2 66 g xf xf xxx 2 11 sin 2 624 x 配方或用对称轴均可 换元需强调范围 8 分 当 2 1 6 2sin x时 xg取得最小值 4 1 只有最值 没有是否取到的说明 各扣 1 分 6 当1 6 2sin x时 xg取得最大值 2 12 分 所以 xg的值域为 2 4 1 13 分 16 1 解 记 3 次投篮的人依次是甲 甲 乙 为事件 A 由题意 得 9 2 3 2 3 1 AP 答 3 次投篮的人依次是甲 甲 乙的概率是 9 2 5 分 2 解 由题意 的可能有取值为 0 1 2 3 则 9 5 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 0 P 3 1 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 1 P 27 2 3 2 3 1 3 1 2 P 27 1 3 1 3 1 3 1 3 P 所以 的分布列为 0123 P 9 5 3 1 27 2 27 1 的数学期望 27 16 27 1 3 27 2 2 3 1 1 9 5 0 E 13 分 17 17 本小题满分本小题满分 1313 分分 解解 取PD的中点F 连结 EF AF 因为E为PC中点 所以 EFCD 且 1 1 2 EFCD 在梯形ABCD中 ABCD 1AB 所以 EFAB EFAB 四边形ABEF为平行四边形 所以 BEAF 2 分 BE 平面PAD AF 平面PAD 所以 BE平面PAD 4 分 平面PCD 底面ABCD PDCD 所以PD 平面ABCD 所以PDAD 5 分 7 如图 以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 ABCP 6 分 1 1 0 DB 1 1 0 BC 所以0BC DB BCDB 7 分 又由PD 平面ABCD 可得PDBC 所以BC 平面PBD 8 分 平面PBD的法向量为 1 1 0 BC 9 分 0 2 1 PC PQPC 0 1 所以 0 2 1 Q 10 分 设平面QBD的法向量为 a b cn n n n 1 1 0 DB 0 2 1 DQ 由0DB n n n n 0DQ n n n n 得 所以 0 2 1 0 ab bc 所以 2 1 1 1 n n n n 11 分 所以 2 22 cos45 22 2 2 1 BC BC n n n n n n n n 12 分 注意到 0 1 得21 13 分 18 本小题满分 13 分 解 1 由已知0 x2 分 x a axxf 1 4 分 曲线 xfy 在 2 2 f处切线的斜率为 1 所以1 2 f5 分 即1 2 1 2 a a 所以4 a6 分 2 x axx x axax x a axxf 1 1 1 2 8 分 当10 xf 函数 xf单调递增 A B C D E P y x z Q F 8 当 1 ax 时 0 xf 函数 xf单调递增 此时ax 是 xf的极大值点 1 x是 xf的极小值点10 分 当1 a时 当 1 0 x时 xf 0 当1 x时 0 xf 当 1 时 0 xf 所以函数 xf在定义域内单调递增 此时 xf没有极值点11 分 当1 a时 当 1 0 x时 0 xf 函数 xf单调递增 当 1 ax 时 0 xf 函数 xf单调递增 此时1 x是 xf的极大值点 ax 是 xf的极小值点13 分 综上 当10 a时 1 x是 xf的极大值点 1 x是 xf的极小值点 19 本小题满分 14 分 解 由于A 2 1 在抛物线 2 yax 上 所以14a 即 1 4 a 2 分 故所求抛物线的方程为 2 1 4 yx 其准线方程为1y 3 分 当直线 1 l与抛物线相切时 由 2 1 x y 可知直线 1 l的斜率为 1 其倾斜角为45 所以直线 2 l的倾斜角为135 故直线 2 l的斜率为1 所以 2 l的方程为3yx 4 分 将其代入抛物线的方程 2 1 4 yx 得 2 4120 xx 解得 12 2 6xx 5 分 A O y x 9 所以直线 2 l与抛物线所围成封闭区域的面积为 222 22 666 11 3 dd 3 d 44 xxxxxxx 6 分 2 23 6 11 3 212 xxx 64 3 8 分 不妨设直线AB的方程为1 2 0 yk xk 9 分 由 2 1 2 1 4 yk x yx 得 2 4840 xkxk 10 分 易知该方程有一个根为 2 所以另一个根为42k 所以点B的坐标为 2 42 441 kkk 同理可得C点坐标为 2 42 441 kkk 11 分 所以 2222 42 42 441 441 BCkkkkkk 22 8 8 kk 8 2k 12 分 线段BC的中点为 2 2 41 k 因为以BC为直径的圆与准线1y 相切 所以 2 41 1 4 2kk 由于0k 解得 2 2 k 13 分 此时 点B的坐标为 2 22 32 2 点C的坐标为 2 22 32 2 直线BC的斜率为 32 2 32 2 1 2 22 2 22 所以 BC的方程为 32 2 2 22 yx 即10 xy 14 分 20 本小题满分 14 分 解 由题意 创新数列为 3 4 4 5 5 的数列 n c有两个 即 1 数列 3 4 1 5 2 2 分 2 数列 3 4 2 5 1 3 分 A C BO y x 1y 10 注 写出一个得注 写出一个得 2 2 2 2 分 两个写全得分 两个写全得 3 3 3 3分分 答 存在数列 n c 它的创新数列为等差数列 解 设数列 n c的创新数列为 1 2 n enm 因为 m e为 12 m c cc 中的最大值 所以 m em 由题意知 k e为 12 k c cc 中最大值 1k e 为 121 kk c cc c 中最大值 所以 1kk ee 且 1 2 k em 若 n e为 等 差 数 列 设 其 公 差 为d 则 1 0 kk dee 且d N N N N 5 分 当d 0 时 n e为常数列 又 m em 所以数列 n e为 m mm 此时数列 n c是首项为m的任意一个符合 条件的数列 当d 1 时 因为 m em 所 以 数 列 n e为1 2 3 m 此 时 数 列 n c是1 2 3 m 7 分 当2d 时 因为 111 1 1 222 m eemdemme 又 1 3 0me 所以 m em 这与 m em 矛盾 所以此时 n e不存在 即不存在 n c使得它的创新数列 为2d 的等差数列 综上 当数列 n c为 1 首项为m的任意符合条件的数列 2 数列1 2 3 m 时 它的创新数列为等差数列 9 分 注 此问仅写出结论 注 此问仅写出结论 1 1 1 1 2 2 2 2 者得 者得 2 2 2 2 分分 解 设 n c的创新数列为 1 2 n enm 11 由 知