初中数学竞赛因式分解拓展.doc

数学竞赛专题 因式分解方法的延拓换元法与主元法 因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法 一些复杂的因式分解问题常用到换元法和主元法 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构例题求解【例1】 分解因式：= (第12届“五羊杯”竞赛题)【例2】 多项式因式分解后的结果是( ) A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(xy)(xz) C (y+z)(x一y)(x+z) D(y十z)(x+y)(x一z)(上海市竞赛题) 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市竞赛题) (2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重庆市竞赛题) (3)(x+y2xy)(x+y2)(xy1)2； (“希望杯”邀请赛试题) (4)(2x3y)3十(3x2y)3125(xy)3 (第13届“五羊杯”竞赛题) 【例4】把下列各式分解因式： (1)a2(b一c)+b2(ca)+c2 (a一b)；(2)x2+xy2y2x+7y6 【例5】证明：对任何整数 x和y，下式的值都不会等于33 x5+3x4y5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5(莫斯科奥林匹克八年级试题) 注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有： （1）按字母分组： (2)按次数分组； (3)按系数分组 为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）；(2)课后训练1分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)8 2分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12= 3分解因式：x2xy2y2xy= (2001年重庆市中考题)4已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 5(2001年北京中考题)将多项式分解因式，结果正确的是（ ） A BC D 6下列5个多项式：； ； 其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ） A、 B、 、 C 、 D、7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) A B CD (第13届“希望杯”邀请赛试题)8若，则的值为( ) A B C D0 (大连市“育英杯”竞赛题)9分解因式: （1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x23x+1)2一22x2+33x1；(3)x4+2001x2+2000x+2001； (4)(6x1)(2 x1)(3 x1)( x1)+x2； (5)； (6) 10分解因式：= 11分解因式：= 12分解因式：= （第15届“五羊杯”竞赛题）13在1100之间若存在整数n，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个 (北京市竞赛题)14的因式是( ) A B C D E15已知，M=，N=，则M与N的大小关系是( ) AM N CMN D不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)16把下列各式分解因式： (1)； (2)； (湖北省黄冈市竞赛题) (3)； (天津市竞赛题) (4)；（第13届“五羊杯”竞赛题） (5) (天津市竞赛题)17已知乘法公式： ； 利用或者不利用上述公式，分解因式： (“祖冲之杯”邀请赛试题)18已知在ABC中，(a、b、c是三角形三边的长) 求证： (天津市竞赛题)数学竞赛专题 因式分解方法的延拓配方法与待定系数法例题求解 【例1】分解因式：= (2002年重庆市竞赛题) 【例2】如果有两个因式x+1和x+2，则a+b( )A7 B8 C15 D2l (2001年武汉市选拔赛试题) 【例3】把下列各式分解因式： (1)； (“祖冲之杯”邀请赛试题) （2）； (哈尔滨市竞赛题) (3)； (扬州市竞赛题) (4) (2002年河南省竞赛题)【例4】为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)【例5】 如果多项式能分解成两个一次因式、的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少?(第17届江苏省竞赛题) 课后训练1(1)完成下列配方问题： （2003年江西省中考题） （2）分解因式：的结果是 (郑州市竞赛题) 2若有一个因式是x+1，则 3若是完全平方式，则= (2003年青岛市中考题)4已知多项式可以i分解为的形式，那么 的值是 (第1l届“希望杯”邀请赛试题)5已知，则的值为( ) A3 B C D6如果 a、b是整数，且是的因式那么b的值为( ) A2 Bl C0 D2 (第15届江苏省竞赛题)7(2002年北京市竞赛题)d分解因式的结果是（ ） A； B C； D8把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； （4）； (昆明市竞赛题) (5)； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （6） (重庆市竞赛题)9已知是的一个因式，求的值（第15届“希望杯”邀请赛试题）10已知是多项式的因式，则 (第15届江苏省竞赛题)11一个二次三项式的完全平方式是，那么这个二次三项式是 (重庆市竞赛题)12已知，则= (2002牛北京市竞赛题)13已知为正整数，且是一个完全平方数，则的值为 14设m、n满足，则=( ) A(2，2)或(2，2); B(2，2)或(2，2) C(2，2)或(2，2) ; D(2，2)或(2，2)15将因式分解得( ) A B C D16若 a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是( ) A若，则; B若，则; C若，则; D若，则17把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2003年河南省竞赛题)18已知关于x、y的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求m的值 (2002年