第十一章113　多边形及其内角和2.doc

11.3多边形及其内角和1多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、由n条线段组成的多边形就叫做n边形如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角如图，B，C，D，是五边形的内角，1是五边形的外角谈重点 多边形外角的理解多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角(4)多边形的对角线：定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线拓展理解：一个n边形从一个顶点可以引(n3)条对角线，把n边形分成(n2)个三角形一个n边形一共有条对角线析规律 多边形的对角线条数与顶点数的关系从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的(5)凸多边形和凹多边形：在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；在图(2)中，画出DC(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形谈重点 凸多边形的认识没有特殊说明，今后学习中所指的多边形都是凸多边形【例1】 填空：(1)十边形有_个顶点，_个内角，_个外角，从一个顶点出发可画_条对角线，它共有_条对角线(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是_边形解析：(1)一个n边形有n个顶点，n个角，2n个外角，从一个顶点能画出(n3)条对角线，共有条对角线；(2)一个n边形从一个顶点可以引(n3)条对角线，把n边形分成(n2)个三角形，所以n24，n6，这个多边形是六边形答案：(1)101020735(2)六2正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形如等边三角形、正方形等(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形析规律 正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等【例2】 下列说法正确的个数有()(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等A1 B2C3 D4解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；(4)正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等故选A.答案：A3多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n2)180.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于1803540；从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于1804720；从n边形的一个顶点出发，可以画(n3)条对角线，它们将n边形分成(n2)个三角形，n边形的内角和等于180(n2)所以多边形内角和等于(n2)180.析规律 多边形内角和公式的推导推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决(3)应用：运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数【例3】 选择：(1)十边形的内角和为()A1 260 B1 440C1 620 D1 800(2)一个多边形的内角和为720，那么这个多边形的对角线共有()A6条 B7条C8条 D9条解析：(1)运用多边形内角和公式计算：180(102)1 440，故选B；(2)一个多边形的内角和为720，即180(n2)720，解得n6，所以该多边形是六边形，六边形有9条对角线，故选D.答案：(1)B(2)D4多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360.(2)探究过程：如图，以六边形为例外角和：在每个顶点处各取一个外角，即1，2，3，4，5，6，它们的和为外角和因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于18061 080，所以1234561 080180(62)360.n边形外角和n180(n2)180360.(3)拓展理解：多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360，与边数无关多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和解技巧 多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带【例4】 填空：(1)一个多边形每个外角都是60，这个多边形是_边形，它的内角和是_度，外角和是_度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加_，外角和增加_解析：(1)因为每个外角都是60，所以360606，所以是六边形根据内角和公式计算出内角和是720，外角和是恒值为360(也可以由每个外角都是60，得每个内角都是120，进而得到内角和是720)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180，但外角和不变答案：(1)六720360(2)18005多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n2)180求出(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数破疑点 多边形内角和的理解用内角和除以180得到的是n2的值，不是边数，边数是n，这点要注意熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键【例51】 若一个四边形的四个内角度数的比为3456，则这个四边形的四个内角的度数分别为_解析：设每一份为x，那么四个角分别为3x，4x，5x，6x.根据四边形内角和是360，列出方程3x4x5x6x360，解得x20，然后求出各角；也可以用3601820，每一份是20，然后求解答案：60，80，100，120【例52】 一个多边形的内角和等于1 440，则它的边数为_解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n2)1801 440，解方程得n10.所以这个多边形为十边形答案：10【例53】 一个多边形的内角和不可能是()A1 800 B540 C720 D810解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180的整数倍，故选D.答案：D6.多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换破疑点 多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360，而多边形所有外角的和是360的2倍，是720，这点要注意【例61】 如图所示，已知ABE138，BCF98，CDG69，则DAB_.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角根据四边形内角和为360，求出A；方法二：根据四边形外角和为360，求出与A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出A.答案：125【例62】 如图，在四边形ABCD中，1，2分别是BCD和BAD的邻补角，且BADC140，则12等于()A140 B40C260 D不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360，且BADC140，所以DABDCB220，12DABDCB1802，所以12360220140；方法二：可求出与B，ADC同顶点的两外角和为220，根据四边形外角和是360，得出12360220140；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出12的度数答案：A7.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数知道一边的长度，就能知道每一边的长度因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)解技巧 利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360，由360除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例71】 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是_解析：由多边形内角和定理知，八边形的内角和是1 080，每个内角都相等，所以1 0808135.答案：135【例72】 一个多边形的每一个外角都等于30，这个多边形的边数是_，它的内角和是_解析：多边形的外角和是360，每个外角都是30，所以3603012，所以该多边形是十二边形，内角和是1 800，本题也可根据共顶点的内、外角互补，求出内角和答案：121 800【例73】 一个多边形的每一个内角都等于144，求这个多边形的边数分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n2)180，因为每一个内角都是144，所以内角和为144n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144，所以每一个外角都是36.根据多边形外角和为360，用3603610，也可以得出这个多边形为十边形解：设这个多边形的边数为n，则(n2)180n144，解得n10.答：这个多边形的边数为10.8边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n2)180，多边形对角线的条数也是一定的，是，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是1 080，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n2)1801 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数【例81】 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()A8 B9 C10 D11解析：过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n2)个三角形，所以n28，解得n10，即这个多边形是十边形，故选C.答案：C【例82】 多边形的每一个内角都是150，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是()A7 B8 C9 D10解析：根据每一个内角都是150，求出这个多边形是十二边形，它的一个顶点引出的对角线的条数是n31239，故选C.答案：C【例83】 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和分析：设边数为n，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得4n，解得n11，所以这个多边形的内角和为：(n2)180(112)1801 620.9.将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540.(2)当是图所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360.(3)当是图所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180.析规律 分类解决问题对于其他多边形(三角形除外，因为三角形只有两种情况)也有这样的三种情况，并且截法相同，解法也相同【例91】 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为()A15或17 B16或17C16或18 D15或16或17解析：因截法不同，所以有三种可能，当不过任何一个顶点时，截完后边数会增加1，因此原来多边形应为十五边形；当过一个顶点时，截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十六边形；当过两个顶点时，边数比原来减少1，所以原来就是十七边形，所以原来的多边形的边数为15或16或17，故选D.答案：D【例92】 一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520，那么原多边形的边数是()A13 B15 C17 D19解析：一个多边形截去一个角，因截线不过任何顶点，所以新得到的多边形边数比原来的多边形的边数应该增加1.因为新得到的多边形内角和是2 520，根据多边形内角和公式列方程得(n2)1802 520，解得n16，新多边形为十六边形，所以原多边形为十五边形，故选B.答案：B【例93】 如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880，那么原来的多边形的边数是()A10 B9 C8 D7解析：现在的多边形的内角和是2 880，根据多边形内角和公式(n2)1802 880，求出n18，所以原来的多边形的边数就是1829，因此是九边形，故选B.答案：B10.多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n2)180可知，n2是正整数，所以多边形的内角和必定是180的整数倍，因此：当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180，因