《直线与方程》教案例题精析.doc

直线与方程知识点总归纳：1直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为可见，直线倾斜角的取值范围是2直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是3直线方程的五种形式点斜式：，斜截式：，两点式：，截距式：，一般式：（其中不同时为0）4两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有5两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直即另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况6两条直线的交点坐标将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有惟唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行7点到直线距离公式：点到直线的距离为：8两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 一 倾斜角与斜率（一）知识点1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. 1由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角类型四：两直线平行与垂直四边形的顶点为，试判断四边形【典例精析】例1直线如图所示，则的斜率的大小关系为 ，倾斜角的大小关系为 例2已知三点A(1，-1)，B(4，-2)，C (-2,0)，证明A、B、C三点共线例3（1）若过原点的直线与连结P(2,2)，Q(6,2)的线段有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围（2）已知实数x，y满足y=x2-2x+2（-1x1），求的最大值和最小值例 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D解：直线恒过定点直线与轴和轴的交点设为，则两点的坐标分别为，直线的斜率为，对应的倾斜角为，直线与轴垂直，对应的倾斜角为故为正确选项归纳小结：本题考查直线的倾斜角与斜率，认识到直线是过定点的直线系是问题解决的关键 通过特殊位置的研究，得到问题的答案，充分体现了数形结合的思想方法，同时对计算能力和三角函数的基础知识也有一定要求【课堂练习】（一）、判断正误：直线的倾斜角为，则直线的斜率为. （ ）直线的斜率值为，则它的倾斜角为. （ ）因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率 （ ）因为平行于轴的直线没有斜率，所以平行于轴的直线没有倾斜角（ ） （二）选择题1.直线经过原点和点(1,1),则它的倾斜角是( )A. B. C.或 D.2.过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1 B.4 C.1或3 D.1或43.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(1,b)三点，则a,b的值是( )A.a=4,b=0 B.a=4,b=3 C.a=4,b=3 D.a=4,b=34.已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( ) A.k或k4 B.4k C. k4 D.k4（三）填空题：5.已知A(2，3)、B(1，4)，则直线AB的斜率是 .6.已知M(a,b)、N(a,c)(bc),则直线MN的倾斜角是 .7.已知O(0，0)、P(a,b)(a0)，直线OP的斜率是 .8.已知，当时，直线的斜率 = ；当且时，直线的斜率为 ,倾斜角为 .9.若直线过(2,3)和(6，5)两点，则直线的斜率为 ,倾斜角为 11.已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为_.12已知直线l过A(2,(t+)2)、B(2,(t)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为_ 13.已知两点A(x,2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x= （四）解答题：14.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)； （2）89； （3）2.15.已知两点A(3,4)、B(3，2)，过点P(2，1)的直线与线段AB有公共点.(1)求直线的斜率k的取值范围;(2)求直线的倾斜角的取值范围.16.过P(1,2)的直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角.基础达标1若直线的倾斜角为，则等于（ ）. A0 B45 C90 D不存在2过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或43已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）. A. 60 B. 30 C. 60或120 D. 30或1504若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（ ）. A B C D5右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）. A .k1k2k3B. k3k1k2 C. k3k2k1D. k1k3k26已知两点A(，2)，B(3，0)，并且直线AB的斜率为2，则 .7若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是 .能力提高8已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围. 9光线从点出发射入y轴上点Q, 再经y轴反射后过点, 试求点Q的坐标,以及入射光线、反射光线所在直线的斜率. 二 两条直线平行与垂直的判定（一）知识点1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.（二）例题讲解例3 已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（ ）A B C D解：过点和点的直线的斜率为直线可变形为，故其斜率为过点和点的直线与直线平行， 解得 故为正确选项归纳小结：两条直线平行，是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考考查的重点本题要先由两点坐标表示出对应直线的斜率，再由两条直线平行，斜率相等，建立关于的方程，通过解方程得到问题的答案 本题的解题过程，充分体现了解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质 要认真体会数形结合思想及方程思想例4直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A B C D解：直线的斜率为 因为所求直线与直线垂直，所以，所求直线的斜率为线过点，由点斜式得直线方程为，即归纳小结：两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考的考察重点内容当两条直线垂直且斜率存在时，其对应的斜率乘积等于本题先由直线的互相垂直关系，求出所求直线的斜率，再由点斜式求出了直线方程注意体会方程思想，同时，要注意，直线方程的确定要根据具体情况，选择合适的形式基础达标1下列说法中正确的是（ ）. A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两直线的斜率之积为-1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行2若直线的倾斜角分别为，则有（ ）. A. B. C. D. 3经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（ ）. A4 B1 C1或3 D1或44若， 则下面四个结论：；. 其中正确的序号依次为（ ）. A. B. C. D. 5已知的三个顶点坐标为，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 . 7若过点的直线与过点的直线平行，则m= . 能力提高8已知矩形的三个顶点的分别为，求第四个顶点D的坐标9 的顶点，若为直角三角形，求m的值.2、直线l1、l2的斜率是方程x23x1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ） A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= （） A、 -3 B、-6 C、 D、2. 直线的位置关系是 （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定3直线l: 2xyC=0与直线m: 4x2yC=0的位置关系是 .4直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0 没有公共点，求实数m的值.5直线和直线垂直，求的值.6若，又三点A(，0)，B（0，），C（1，3）共线，求的值.7. 已知点A（1,2），B（3,4），C（5,6），D（7,8），则直线AB与CD直线的位置关系是（）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）重合8. 已知点A（7,4），B（5,6），求线段AB的垂直平分线的方程。9原点在直线l上的射影为点（，），则直线l的方程为 .10已知直线与直线3x+47=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线的方程为_ 11. 点（，m）关于点（n, 3）的对称点为（，），则（）m，nm，n m，nm，n12与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=013、已知P(a,b)与Q(b1,a+1)(ab1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是（ ） A x+y=0 B xy=0C x+y1=0 D xy+1=014点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是（A）（3，2）（B）（-3，-2）（C）（-3，2）（D）（3，-2）15与直线l：3x4y50关于x轴对称的直线的方程为（A）3x4y50（B）3x4y50（C）3x4y50（D）3x4y50三 直线的点斜式方程（一）知识点1. 点斜式（point slope form）：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式（slope intercept form）：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.基础达标1下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）. A. =3 B. =5 C. 2= D. =412方程表示（ ）. A. 通过点的所有直线 B. 通过点的所有直线 C. 通过点且不垂直于轴的直线 D. 通过点且除去轴的直线3直线（0）的图象可以是（ ）. 4已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（ ）. A. B. C. D. 5过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（ ）. A. B. C. D. 6倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .7 将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15，得到的直线方程是 . 能力提高8已知直线在轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.9已知在第一象限，若，求：（1）边所在直线的方程；（2）边和所在直线的方程.四 直线的两点式方程（一）知识点1. 两点式（two-point form）：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式（intercept form）：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.基础达标1过两点和的直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 2直线在轴上的截距是（ ）. A. B. C. D. 3过两点和的直线在轴上的截距为（ ）. A. B. C. D. 24已知，则过点的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 5已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D6过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .7已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为 .能力提高8三角形ABC的三个顶点A（3，0）、B（2，1）、C（2，3），求：（1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE 的方程9已知直线过点，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程探究创新10已知点、，点P是x轴上的点，求当最小时的点P的坐标五 直线的一般式方程一、知识点1. 一般式（general form）：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交. 基础达标1如果直线的倾斜角为，则有关系式（ ）. A. B. C. D. 以上均不可能2若，则直线必经过一个定点是（ ）. A. B. C. D. 3直线与两坐标轴围成的面积是（ ）. A B C D4（2000京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合5已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）. A. 4和3 B. 4和3 C. 4和3 D. 4和36若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= . 7过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（，12）在此直线上，则 能力提高8根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是，经过点A（8，2）； （2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,3； （4）经过两点（3，2）、（5，4）.9已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.探究创新10已知直线，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1/l2；（4）l1和l2重合. 六 两条直线的交点坐标（一）知识点1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.本节习题：基础达标1直线与的交点是（ ）. A. B. C. D. 2直线与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3已知直线的方程分别为 ，且只有一个公共点，则（ ）. A. B. C. D. 4经过直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 5直线20，4310和210相交于一点，则的值为（ ）. A. 1 B. 1 C. 2 D. 26直线：2312与：2的交点坐标为 . 7若直线与直线平行，则 能力提高8已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.9试求直线关于直线:对称的直线l的方程. 探究创新10已知直线方程为(2+)x+(1-2)y+4-3=0.（1）求证不论取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程. 七 两点间的距离一、知识点1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.本节习题基础达标1已知，则|AB|等于（ ）. A. 4 B. C. 6 D. 2已知点且，则a的值为（ ）. A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 1或53点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（ ）. A. B. C. D. 5已知点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（ ）. A. B. C. D. 6已知，则BC边上的中线AM的长为 . 7已知点P（2，4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为 . 能力提高8已知点，判断的类型9已知，点为直线上的动点求的最小值，及取最小值时点的坐标八 点到直线的距离及两平行线距离（一）知识点1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为例7