《中心力场》PPT课件.ppt

Review 微观全同粒子具有不可分辨性 任何两个粒子交换 量子态不变 第1页 全同粒子波函数 要么对称 Bose子 要么反对称 Fermi子 P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换 第2页 交换任意两个粒子 等价于行列式中相应两列对调 由行列式性质可知 行列式要变号 故是反对称化波函数 Pauli不相容原理不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态 第六章中心力场 教学内容 第3页 1中心力场中粒子运动的一般性质 2无限深球方势阱 3三维各向同性谐振子 4氢原子 1中心力场中粒子运动的一般性质 一 角动量守恒与径向方程何谓中心力场粒子的受力经过某个固定的中心 力心 其势能只是粒子到力心的距离r的函数 即V r 为球对称势 例如Coulomb场 第4页 设质量为 的粒子在中心力场中运动 则哈密顿量算符表示为 经典理论中 中心力场中运动粒子角动量守恒 粒子运动为平面运动 对于势能只与r有关而与 无关的有心力场 使用球坐标求解较为方便 第5页 l H 0 l2 H 0 l及l2均为守恒量 径向动能 离心势能 取体系 自由度3 的力学量完全集为 第6页 求解中心力场中粒子的能量本征方程 径向方程可写为 求解方程时 可作以下替换 使得计算更方便 令 第7页 不同中心力场V r 不同Rl r l r 方程中没有出现磁量子数m 能量本征值E与m无关 与l有关 给定l m有2l 1个取值 中心力场的简并度一般为2l 1 选取对易守恒量完全集 H l2 lZ 之后 同一能级的各简并态就可标记清楚 一定边界条件下求解径向方程 可求得能量本征值E及本征函数 非束缚态 E连续变化 束缚态 E取离散值 由于束缚态下边界条件 出现径向量子数nr nr 0 1 2 代表波函数节点数 E依赖于nr和l 记为Enrl l一定 E随nr增大而增大 nr一定 E随l 离心势能 增大而增大 光谱学习惯 把 l 0 1 2 3 4 5 6 的态记为s p d f g h i 第8页 径向波函数在r 0邻域内的渐进行为 假定V r 满足 第9页 变为 设 当r 0 在任何体积元找到粒子的概率应为有限值 当r 0 若Rl r 1 ra 要求a 1时 Rl r r l 1 不满足要求 l 0时 R0 r Y00 1 r 但此解并不满足能量本征方程 第10页 r 0时 只有Rl r rl是物理上可以接受的 等价地 要求 径向方程的一个定解条件 两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题 通常是两体问题 两个质量分别为m1和m2的粒子 相互作用V r1 r2 V r 只依赖于相对距离 这个二粒子体系的能量本征方程 第11页 ET为体系的总能量 引入质心坐标R和相对坐标r I一个具有约化质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动 可以证明 第12页 证明 第13页 以上结果带入到两粒子能量本征方程 分离变量 第14页 描述质心运动 自由粒子能量本征方程 平面波解 描述相对运动 E是相对运动能量 单粒子能量本征方程 两体问题单体问题 Review中心力场中粒子运动一般性质 1 中心力场V r 球对称势2 经典力学中 角动量守恒 平面运动3 量子力学中 l H 0 l2 H 0 第15页 第16页 当r 0 r 0时 只有Rl r rl是物理上可以接受的 等价地 要求 两体问题化为单体问题 2无限深球方势阱 考虑质量为 的粒子在半径为a的球形匣子中运动 这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动 束缚态 第17页 考虑s态 l 0 径向方程 势阱内部 方程的解可以表示为sin kr 的形式 再根据r a处的边界条件 sin ka 0 有 第18页 粒子能量本征值为 归一化 l 0时 径向方程为 第19页 引入无量纲变量 kr 球Bessel方程 解可取为球Bessel函数jl 与球Neumann函数nl 0时 球方势阱的解取为 当a取有限值时 k只能取一系列离散值 令jl 0的根为 第20页 粒子的能量本征值为 相对应的径向本征函数为 第21页 10 A5 合流超几何函数 合流超几何微分方程为 第22页 为参数 在z 0邻域 令y zs 可得 s 0时的级数解 第23页 要求方程左边各次项为0 由此可得 c0 1 得出级数解 合流超几何函数 第24页 k ck ck 1 1 k 这与ez的幂级数展开系数比值一致 s 1 时 级数解为 3三维各向同性谐振子 质量为 的粒子在三维各向同性谐振子势V r 中运动 第25页 是刻画势阱强度的参量 径向方程为 r 0的邻域 物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是 r 时 自然单位 1 束缚态边界条件要求 第26页 方程的解写为 化为 合流超几何方程 方程有两个解 第27页 u2 是物理上不能接受的解 方程的解只能为 无穷级数解 合流超几何函数 要满足束缚态边条件 要求F 中断为一个多项式 要求 0or负整数 第28页 这就要求 这就是三维各向同性谐振子的能量本征值 能级简并度能级均匀分布 间隔 能级一般是简并的 能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N 2nr l 给定能级EN nr 0 1 2 3 N 1 2orN 2l N 2nr N N 2 N 4 N 6 1 N奇 or0 N偶 N偶时 能级简并度 N奇同样结果 第29页 径向波函数为 归一化后 直角坐标系 采用直角坐标系 三维各向同性谐振子可分解为 相同的三个彼此独立的一维谐振子 第30页 本征函数可以分离变量 相当于选取 Hx Hy Hz 为对易守恒量完全集 共同本征态为 相应的能量本征值为 第31页 能级简并度 给定N nx 0 1 2 N 1 Nny nz N N 1 N