专题十二一元二次方程实根的分布讨论.doc

专题十一 一元二次方程实根的分布讨论本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。一一元二次方程实根的基本分布零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程（）的两个实数根为、，则 、均为正0，0，0； 、均为负0，0，0；、一正一负0。例1关于的一元二次方程有两个负数根，求实数取值范围。解：设两个实数根为、，依题意有 由得：，恒成立。 由得：0，解之，。 由得：0，解之，7。 综上，的取值范围是7。 例2若0，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值。 解：设两个实数根为、，依题意有 由得：，或。 若，则0，不符合，舍去。 故，此时均符合、， 。二一元二次方程实根的非零分布分布设一元二次方程（）的两实根为、，且，为常数。则一元二次方程实根的分布指、相对于的关系，例如、均比大，或者、均比小，或者、一个比大，一个比小等等。、均比常数大0，（）（）0，（）（）0；、均比常数小0，（）（）0，（）（）0；、一个比大，一个比小0，（）（）0。例3若方程的两根均大于1，求实数的取值范围。解：设两个实数根为、，由韦达定理得：，。依题意有由得：，解之，或。由得：2，解之，1。由得：，解之，1。综上，的取值范围是。当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。我们知道，如果二次函数的图像与轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程的实数根。反之亦然。利用这一点来看问题1：什么条件下，二次方程两个实数根、一个比大，另一个比小（是给定的常数）？ 上面问题等价于：什么条件下，二次函数图像与轴两个交点分布在点两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。tx2x1tx2x1 显然，当时，； 当时，。问题2：什么条件下，二次方程两个实数根、都比常数大？构造二次函数，结合图形，tx2x1tx2x1 当时，0，；当时，0，。问题3：什么条件下，二次方程两个实数根、都比常数小？构造二次函数，结合图形，tx1x2x1tx2当时，0，；当时，0，。 问题4：什么条件下，二次方程两个实数根、满足，（其中、为给定常数且）？构造二次函数，结合图形，x2tsx1tsx2x1 当时，；当时，。 问题5：什么条件下，二次方程两个实数根、均介于、之间（其中、为给定常数且）？ 构造二次函数，结合图形，tstsx1x2x1x2 当时，0，；当时，0，。 看几个具体事例。 例4：为实数，关于的二次方程有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求的取值范围。 解：构造二次函数，结合图形，有，201 解之，故取值范围是。 例5：已知为整数，且方程两根都大于且小于，求值。解：显然，。构造二次函数，则其图像与轴两个交点均介于、之间（不包括两个端点）。如图，则有 （,0）(,0)由得：，由得：，解之得 ，由得：，解之得 。故的取值范围是。所以可取的整数值为。 例6：若、为整数，方程的两个实数根都大于且小于，求与的值。 解：构造二次函数，则其图像与轴的两个交点均在与之间（不包括两个端点）。如图，则有 (1,0)(0,0)由得：， ， 由得：，由得：， ，由得：。显然， ， ， 可取的值有。当时， ，符合；当时， ，不符合；当时， ，均不符合；当时， ，均不符合；当时， ，均不符合。故本题的解为，。 例7：方程的所有实根介于与之间（不包括、），求的值。 简析：本题与上述问题的最大区别在于针对二次项系数要进行分类讨论。解：当时，符合题意。 当时，令，首先，解之，。其次，抛物线的对称轴应介于直线与直线之间，有，即， 由此可知，解得 。由于抛物线开口向上，故有52 综合、可得或者。例8：关于的方程有三个实数根分别为、，其中根与无关。（1）如，求实数的值；（2）如，试比较：与的大小，并说明理由。 简析：问题（1）的关键是将原方程降次。问题（2）的关键是由条件式联想到一元二次方程实根的分布。 解：将原方程变形： 或可知，方程的两个实数根是、