第3章--振动系统的运动微分方程题解.doc

习 题题3-1图3-1 复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 其中 得到复摆运动微分方程为或 3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故 系统具有理想约束，重力的元功为应用动能定理的微分形式 等式两边同除， ，等式两边同除故微分方程为 若为小摆动，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程上述方程包含，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式与方程联立，消去未知约束力，就可以得到与式相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能 选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式相同的运动微分方程。3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为由瞬心法求质心的速度，所以系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为由动能定理所以系统的运动微分方程为 要点及讨论（1）平面运动刚体可用式计算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度也可用式计算。其中 （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为，系统的动能主动力的元功根据动能定理建立的方程为所以“”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度，选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒： ，水平方向动量守恒。整理后可分别列写两个方程式中为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中。题3-5图 解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为(1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为(2)(3)(4)其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有(5)(6)由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得(7)又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)和(6)，得(8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和q为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：(9)由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。另解：由动静法得,以整体为研究对象以M为研究对象： 又忽略高阶小量，所以以上两式化简后得：化成矩阵形式为：3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y, t)。试用哈密顿原理求运动方程。解：若梁的挠曲函数为w(y, t)，则动能为 (a)应变（势能）为题3-6图 (b)外力功为 (c)将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式(d)得到(e)对式(e)进行分部积分运算，得到(f)由于，时，哈密顿原理要求dw = 0，因而式(f)变为(f)因为，t1与t2区间的虚位移dw不可能为零，由此，得到梁的边界条件(h)与运动方程(i)两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。3-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即(1)则系统的动能(2)系统的势能为(3)计算拉格朗日方程中的各项导数如下：将以上各项导数代入拉格朗日方程得(4)写成矩阵形式(5)其中 质量矩阵 刚度矩阵 位移列阵（a） （b）题3-8图3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。解：运动的分离体图如图（b）所示。地震中可设q为微小角度，因此因此运动方程为如果则则频率方程为即或另解：动静法得。以刚体m为研究对象： 又忽略高阶小量，所以以上两式化简后得：图中：kx、m应反向。方程应为 3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。题3-9图解：选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G点的惯性矩为IG，则式中，V为贮存在弹簧中的势能。有： 由拉格朗日方程得 则运动方程为因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。3-10 题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列平衡方程，对：， 题3-10图 ，对： ， ， 设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列平衡方程，对： ， ， 对： ， ， 由， 解得，得作用力方程为3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及，以质心C的微小位移xC与为坐标，列出系统运动的作用力方程。题3-11图解：设质心的水平位移与相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力与力偶，列平衡方程， ， 设，画出受力图，并施加物体力与力偶，列平衡方程， ， ， ， ，得作用力方程为题3-12图 3-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，列出系统运动的位移方程。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中，广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力，列平衡方程，可得到，同理可求得。最后求得刚度矩阵为=由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，而不受力，此时第一个弹簧变形为，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， ，同理求出，。最后得到柔度矩阵为另解：（1）求刚度矩阵K和质量矩阵M在各楼层