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数学必修 知识点 一 集合 二 函数 三 初等函数 五 函数应用 四 函数的零点与二分法 一 集合的概念 1 集合 把研究对象称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 2 元素与集合的关系 3 元素的特性 确定性 互异性 无序性 二 集合的表示 1 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并放在 内 2 描述法 用文字或公式等描述出元素的特性 并放在 内 3 图示法Venn图 三 集合间的基本关系 1 子集 对于两个集合A B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素 我们称A为B的子集集合A中有n个元素 则集合A子集个数为 2 集合相等 3 空集 规定空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 四 集合的并集 交集 全集 补集 全集 某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素 用U表示 A B 一 函数的概念 5 几种情况同时出现时要取各种情况的交集 注意实际生活的意义 二 函数的定义域 1 具体函数的定义域 1 已知函数y f x 的定义域是 1 3 求f 2x 1 的定义域 2 已知函数y f x 的定义域是 0 5 求g x f x 1 f x 1 的定义域 2 抽象函数的定义域 二次函数给定区间值域问题 三 函数的表示法 1 解析法2 列表法3 图像法 增函数 减函数 单调函数是对定义域上的某个区间而言的 注意 函数单调性 用定义证明函数单调性的步骤 1 取值设x1 x2 是区间上任意二值 2 作差f x1 f x2 3 判断f x1 f x2 的符号 关键 4 下结论 函数的奇偶性 1 奇函数 对任意的 都有 2 偶函数 对任意的 都有 3 奇函数和偶函数的必要条件 注 要判断函数的奇偶性 首先要看其定义域区间是否关于原点对称 定义域关于原点对称 奇 偶 函数的一些特征 1 若函数f x 是奇函数 且在x 0处有定义 则f 0 0 2 奇函数图像关于原点对称 且在对称的区间上不改变单调性 3 偶函数图像关于y轴对称 且在对称的区间上改变单调性 返回 映射的概念 设A B是两个非空的集合 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应 那么就称对应f A B为集合A到集合B的一个映射 映射是函数的一种推广 本质是 任一对唯一 整数指数幂 有理指数幂 无理指数幂 指数 对数 定义 运算性质 指数函数 对数函数 幂函数 定义 图象与性质 定义 图象与性质 返回 指数幂与根式运算 1 指数幂的运算性质 2 a的n次方根 如果 n 1 且n 那么x就叫做a的n次方根 1 当n为奇数时 a的n次方根为 其中 2 当n为偶数时 a 0时 a的n次方根为 a 0时 a的n次方根不存在 3 根式 式子 叫做根式 其 中n叫做根指数 a叫做被开方数 根式对任意实数a都有意义 当n为正奇数时 当n为正偶数时 4 分数指数幂 1 正数的分数指数幂 2 零的正分数指数幂为零 零的负分数指数幂没有意义 一般地 如果 那么数x叫做以a为底N的对数 N叫做真数 当a 0 时 负数和零没有对数 常用关系式 1 2 3 如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 对数运算性质如下 几个重要公式 换底公式 指数函数的概念 函数y ax叫作指数函数 指数自变量 底数 a 0且a 1 常数 定义域为 值域为 0 图像都过点 0 1 当x 0时 y 1 是R上的增函数 是R上的减函数 当x 0时 y 1 x 0时 0 y 1 当x 0时 01 比较两个幂的形式的数大小的方法 1 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较 可以利用指数函数的单调性来判断 2 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较 可以利用比商法来判断 3 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较 则应通过中间值来判断 常用1和0 图象性质 a 10 a 1 定义域 0 值域 R 过点 1 0 即当x 1时 y 0 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 在logab中 当a b同在 0 1 内时 有logab 0 不同在 0 1 内 或不同在 1 或 1 内时 有logab 0 当a b 重要结论 指数函数与对数函数 图象间的关系 指数函数与对数函数 图像间的关系 函数y x 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 y f x 的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点 即f x 0的解 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 若y f x 的图像在 a b 上是连续曲线 且f a f b 0 则在 a b 内至少有一个零点 即f x 0在 a b 内至少有一个实数解 结论 零点存在定理 1 函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 2 f a f b 0 函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 对于在区间上连续不断且的函数 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 二分法概念 用二分法求方程近似解的步骤 求区间 a b 的中点 计算 中点函数值为零 结束 区间长度小于精确度 中点函数值