2.2.2函数的奇偶性.docx

函数的奇偶性教学设计苏州工业园区第二高级中学 段赛花传统的数学教学是让学生掌握尽可能多的数学知识，至于为什么要学习这些知识，这些知识从哪里来，他们可以引领我们走向何处，那是不被考虑的。数学教育要做的事，正如卢梭所说的：“问题不在于教他各种学问，而在于培养他们爱好学问的兴趣，而且在这种兴趣充分增长起来的时候，教他以研究学问的方法。”数学教育重视的是体验，是兴趣的激发，是数学方法的习得，是数学精神的培养。这样的培养可以通过概念课的变式研究来实现。课前两个学生的对话：有个学生看到苏轼的回文词说这节课是语文课？另一个学生说：笨!没看出对称吗。说明数学无处不在。用数学的眼光看世界，无论文学，还是生活。而有文化的数学更能吸引眼球。以下是苏州教师发展中心9月14日在张家港暨阳高级中学的展示课实录。教学目标：理解函数奇偶性概念，掌握判断函数奇偶性的方法，会证明一些函数的奇偶性. 教学重点：函数奇偶性的概念与判断.教学难点：函数奇偶性概念的探究与应用.一、问题情境:1、苏轼菩萨蛮（回文秋闺怨）井桐双照新妆冷。冷妆新照双桐井。羞对井花愁。愁花井对羞。影孤怜夜永。永夜怜孤影。楼上不宜秋。秋宜不上楼。课前播放PPT，让学生把注意力集中到回文词，从中感受对称的美感。2、上海自来水来自海上，黄山落叶松叶落山黄。让学生对对联，在对联中感悟对称的神奇。3、杨辉三角与二项式系数完美的遇见，成就了数形结合。本课始终围绕数形结合研究问题，这里除了介绍古代数学，还让学生感受到杨辉三角比西方的帕斯卡三角形早发现393年。古代数学辉煌无比，现代数学靠在座各位，你们是祖国未来的栋梁，各位栋梁，我们继续欣赏生活中的美。美在何处？（张家港暨阳高级中学校歌最后2句：中华强盛，我为栋梁。眼中都是祖国栋梁，课堂从此展开，学生信心满满。）4、生活中无处不在的对称美，在函数中这样的对称就是本节课研究的函数奇偶性。问题1：如何用数量刻画图象的对称性？学生观察图象发现：，推广到一般，。学生对新的符号理解很陌生，此处强调。另外中的可以是1，2，3等等，取遍定义域R上的任意一个数。为偶函数定义中的“任意”埋下伏笔。在具体函数的研究中感受“任意”。（1）， （2）想一想：（1）关于轴对称吗？（2）关于轴对称吗？（3）关于轴对称吗？（4）关于轴对称吗？（5）关于轴对称，求的值？有解析式，有图象，图象关于y轴对称，可以证明问题串的设计重在特殊到一般，变化定义域。（1）中反问学生，怎么改就能关于轴对称？学生有改闭区间，有改开区间，为进一步的编题埋下伏笔。教师折叠讲义上的图示，演示关于y轴对称就是沿着y轴折叠后图象重合。高一学生刚刚学习集合，这里的各种变化让学生对集合有一个新的全面的认识。函数问题为何优先考虑定义域，从数和形角度反复加深印象。这里通过教师的肢体语言或者是学生的作图都能突出定义域的重要性。问题2：图象关于y轴对称的函数，没有解析式只有图象。刚才的恒等式成立吗？通过几何画板上任取一个动点关于y轴的对称点，该对称点也在函数图象上，可以另外表示为，学生发现这样的恒等式依然成立。 从特殊函数到一般函数，把关于轴对称的函数称为偶函数。问题3：怎样定义偶函数？二、探究新课：偶函数定义：一般地，设函数的定义域为A.如果对于任意的，都有，那么称函数是偶函数（even function）.包含两层意思：1、定义域关于原点对称，2、 教师反思：前面的研究都为了概念的引出，这样的设计从具体函数入手，推广到一般情况，是数学研究的一般思路。教会这样的研究方法，学生可以独立自主地类比研究奇函数。判断：定义在R上的函数，下列判断是否正确？（1）若函数是偶函数，则.（2）若，则函数是偶函数. （3）若，则函数不是偶函数.（4）函数都是偶函数. 概念辨析，在（3）中强调如果不正确找一个反例即可。数学从特殊推广到一般只是猜想，如果不准确只需找一个反例。（4）中前面2个函数学生通过图象能迅速判断是偶函数，第3个函数部分学生不会画图，引导学生从偶函数的定义中寻找突破口：1、定义域是否关于原点对称；2、恒成立。回顾的作图过程，需分类讨论，此处从图象角度研究的学生也需分类讨论作图才能判断。我们为什么学习偶函数？不画图也可以判断，数形皆可，此处代数方法略胜。（学生提出画图，但部分学生不知道怎么画图，回到熟悉的函数，类比联想，老师带着学生一起回忆绝对值问题的研究，学生触类旁通马上找到突破口。）探一探：模仿偶函数的研究，图象关于原点中心对称的函数具有怎样的性质？钱承，一个外表文弱，少言寡语的数学课代表。在引领下，按照特殊到一般，首先找到关于原点对称的反比例函数，从数量的角度发现恒等式。再推广到任意的原点对称的函数。用任取的一个点关于原点的对称点，该对称点也在函数图象上，可以另外表示为，学生发现这样的恒等式依然成立。钱承同学从台上走下去的时候自信十足，仿佛凯旋的英雄。问题4：怎样定义奇函数？（学生模仿偶函数定义自动生成）奇函数定义：一般地，设函数的定义域为A.如果对于任意的，都有，那么称函数是奇函数（odd function）.问题5：如果函数是奇函数或偶函数，称函数具有奇偶性。它的对称性如何？ 因为概念的剖析过程比较完善，学生很快能回答：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。此处教师强调判断函数奇偶性的步骤：1、形的角度。2、数的角度。首先定义域关于原点对称，其次求出，如果则是偶函数，为奇函数。三、探析例题：例1、判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）.学生习惯从形的角度判断奇偶性，这个例题设计时就是让学生不会画图。代数角度研究问题，再次强调判断的步骤。变1作图是不可能了，有学生发现，利用代数判断时，字母对奇偶性没有影响。变2。老师问一个学生：你还想画图吗？这个时候，该学生特别的不自信。他说还是用代数方法来判断吧。而此时我所做的就是：鼓励学生，坚持自己的想法。事实上他的想法是非常好的，如果能画出图形从图形的角度去判断，那是非常容易的，但是如果画不出图形还可以选择今天所学知识：奇偶性定义去研究问题。多一种方法，可以研究不熟悉的函数。坚持自己的想法，不要轻易被外界改变。学习奇偶性的价值和意义也在这样的对话中完成。教育面向未来，说到底就是要让我们学生在十年二十年三十年以及更长的时间里能适应未来。社会是以加速度向前发展的，三十年以后，今天孩子将面临一个怎样的世界，谁都不知道，却谁都应该想象得到。所谓不知道是指无法预测她的具体情状，所谓应该想象得到是指她一定会变，而且会变化的更快，更充分，更深刻。要让孩子适应如此巨变，今天的教育就要给予他们一些不变的东西，从而让他们做到以不变应万变。变题的思维和独立思考能力正是变化的价值。变3，设计的意图便是让学生感受代数的结构变化多端。课堂有学生发现此题和变2是一样的，特别有成就感。（2）是选用书本例题，同样是不能作图，但学生已经非常熟练使用代数方法。可见，概念课的重点是在概念的引出和难点的突破。学生是具备研究能力的。变1.定义在R上的奇函数，都有？变2.奇函数都有？变3. 的函数是奇函数？这组变题的设计让学生的思维更加严谨，引领学生深入思考是教师的责任，变1还要求学生证明，课堂上学生想到中令，这样的特殊化思考是来自学生，他们的底气越来越足。让学生有所思，有所得，慢慢地超越老师。把成功的感觉还给学生。其实学生比我们想象的还要聪明。这样的变题会让学生铭刻于心。变2中学生想到的还是反函数，引导他们看看例1的（1），让他们对这个函数印象更加深刻。变3学生能很快给出反例：，学生对学过的具体函数掌握不错。学会了想象，更学会一种思维：如果证明一个命题是错误的，举一个反例足矣！寻一寻：找一个既不是奇函数又不是偶函数的函数？ 找一个既是奇函数又是偶函数的函数？ 会判定函数奇偶性，还包含上面两种情况。学生举例：，很会利用现有资源，把我设计的修改了一下。此处继续修改例题让学生判断，他们总结出一半偶函数，一半奇函数，加在一起或者相减都是非奇非偶函数。为下一步设计的“编一编”埋下伏笔。如果时间充足，我们可以变化出更多精彩的习题。学生眼睛放光，自信十足，课堂是思考的海洋。在寻找既奇且偶函数时，学生脱口而出。小部分学生开始变换各种定义域，玩的不亦乐乎。此时抛出想一想：1判断奇偶性？2判断奇偶性？定义域的形态变化为两个对称的数的集合，本质就是。数学是人造美女！万变的背后她还是那个她。学生情不自禁，小眼放光，数学啊，原来可以这样玩！数字字母化是高中数学的一大特色，此处为何？学生发现偶次算术根非负，不失时机提点偶次算术根在复数领域是有意义的，让学生的好奇之心更盛，有兴趣的学生会自己去找书研究。一节课，外延可以更广泛一些。课堂设计仿佛古代禅师时时设疑出难、处处闭关设隘。让他们身处“绝境”而后生。这种教育方法无疑可使学生坚强信心，更富创造力，如此才能获得真开悟、大智慧。此处例题的设计，便是形不可用，而数能行。学生的变化停留在形数皆可的状态，课堂的设计可以让他们收获更多。画一画：1、如图:（1）如果是偶函数，请画出另一半？（2）如果是奇函数，请画出另一半？ 学生想出奇函数画法中，旋转180度和原图一样。从简单的画图到未来复杂图象的研究，这样的学生已经具备发现和独立思考的优秀品质，必定青出于蓝更胜于蓝。编一编:根据例题，你能自己编出2道题吗？亲自解一下，也可以考考同学，探讨谁编出的题更具创意。学生试图想出更为复杂的组合考倒同学。抛出想一想：任何一个函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和？请给出证明。时间关系留作思考。小结时学生很快抓住数和形两个方面。再思考：我们为何学习函数奇偶性？1、陌生函数也可研究，2、简化函数图象的画法，研究问题更加方便。本节课我们和偶函数比翼双飞，和奇函数如影相随。美好的遇见，各位栋梁，后会有期。四、思一思：（1）判断函数奇偶性.（2）判断函数奇偶性.（3）若函数是上单调递增的偶函数，判断并证明：函数在上的单调性？ 若函数是上单调递增的奇函数，判断并证明：函数在上的单调性？ 概念课的变式研究在课程实施上，变学科教学为学科教育，是将学生发展核心素养融入学科核心素养，并积极落实的保障。学科教学往往以知识为核心，学科能力被窄化为考试能力，学生的学习是外在于学生的体验和生命成长的，他不对学生的志趣、理想等负责，更不对学生真正的未来负责。学科教育与学科教学的根本区别就在于突破了知识本位，将学科学习变成为“全面发展的人”服务的一个平台，学科教育不仅学知识，更强调运用知识，强调积极的思维、情感的体验、情怀的激发和科学精神的孕育。在课程评价上，不仅要看到学生在学科知识和能力上的发展，更要看到学生在学科教育中收获的思维品质的提升，运用学科知识和能力与世界互动的方式方法的掌握和运用。我们虽然强调课程评价的主体多元化、方法多样化，却始终固守着学科知识掌握在考试中的呈现，而忽视了学生在课程学习中核心素养的发展和变化。在课程生活中拥有更多更开放的视角来认识世界，对生活对未知便充满热情。教师反思教学不能一味的从“教”的角度来考虑问题，还要站在学生的立场去反思。著名教育家巴班斯基认为：“只有在师生积极的相互作用中，才能产生一个完整现象的教学过程。” 今天的课堂要教师尽快转变角色。教师不是要当课堂的掌控者，与学生争夺课堂话语权，而是要成为学