系数的扩充与复数的引入.doc

系数的扩充和复数的导入知识导图一、概念1、 虚数单位 引入一个新数i，i叫作虚数单位，并规定： a、i2=-1 b、实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减运算律仍然成立。典例： i是虚数单位，计算i+i2+i3=( ) A、-1 B、1 C、-i D、i注意: i4n=1,i4n+2=-1;i4n+1=i，i4n+2=-i.变式训练： i是虚数单位，若集合S=-1,0,1,则（ ） A、is B、i2s C、i3s D、2/is2、 复数和复数集 我们把C=a+bi|a,bR中的数，即形如a+bi（a,bR）的数叫复数。全体复数所形成的集合C叫作复数集。 注意：(1) 当且仅当b=0时，a+bi是实数。(2) 当且仅当a=b=0时，a+bi是实数0。(3) 当b0时，a+bi是虚数。(4) 当a=0且b0时，叫作纯虚数。典例：下列命题中： a、若aR,则（a+1)i是纯虚数； b、若a,bR且ab，则a+i3b+i2. C、若（x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=1. d、两个虚数不能比较大小。其中，正确命题的个数为（ ）A、1 B、2 C、3 D、4变式训练： 对于复数a+bi(a,bR),下列结论正确的是（ ）A、 a=0a+bi为纯虚数B、 b=0a+bi为实数C、 a+(b-1)i=3+2ia=3,b=-3D、 -1的平方等于i.3、 复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫作复数的代数形式。其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部。典例：设a,bR.a=0是复数a+bi是纯虚数的（ ）A、 充分而不必备条件B、 必要而不充分条件C、 充分必要条件D、 既不充分也不必要条件4、 复数相等 在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di（a,b,c,dR），我们规定： a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.典例：若xR，试确定实数a的值，使等式3x2-a/2 x+(2x2+x)i=1+10i成立。变式训练：已知z1=(cosa-4/5)+i(sina-3/5),z2=cosb+isinb,且z1=z2 求cos(a-b)的值。5、 复数的分类 实数集R是复数集C的真子集，即RC。这样，复数z=a+bi可以分类如下： 实数（b=0) 复数 虚数（b0)(当a=0时为纯虚数）典例： 已知复数实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？6、 复数的几何意义 1、根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对（a,b)唯一确定。因为有序实数对（a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应。 Y b Z=a+bi O a X如上图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b，复数z=a+bi可用点z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。显然实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。复数z=a+bi复平面点z（a,b) 成一一对应的关系。复平面上的点都可以表示复数，复数都可以在复平面上表示，且唯一确定。2、 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量来表示复数。 Y b Z=a+bi O a X如图所示，设复平面内一点z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向量OZ唯一确定。因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数0与零向量一一对应）。复数z=a+bi平面向量OZ 成一一对应关系.7、 复数的模 1、复数的模向量OZ的模r叫作复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|（就是a的绝对值）。由模的定义有：|z|=|a+bi|=r=a2+b2 (r0,rR) 2、模的几何意义|z|=|OZ|，即点z(a,b)到原点O的距离。一般地，|z1-z2|即为复平面内点z1到z2的距离。典例：已知复数z的模为2，求|z-1|的最大值。变式训练： 如果|z-4-3i|3，求|z|的取值范围。易错题 已知x满足x2+(x+2)i=2i，求x的值。知识导图二、四则运算1、 复数加法法则（z1,z2C) 1、设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则z1+z2=(a+c)+(b+d)i. 2、运算率：Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、几何意义设向量oz1与向量oz2分别与复数a+bi,c+di对应，则向量oz1=（a,b),向量oz2=(c,d),由平面向量的坐标运算，得oz1+oz2=(a+c,b+d).2、复数的减法运算 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,减法运算是加法的逆运算，满足加法的运算准则。典例： （-2+3i)+(5-i) (a+bi)-(2a-3bi)-3i (a,bR)3、 复数的乘法 1、乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 2、运算律 Z1.Z2=Z2.Z1（Z1.Z2）.Z3=Z1（Z2.Z3） Z1.（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3注意：zR时，|z2|=|z|2=z2；zC时，|z|2R而z2C，所以z2|z|2。 zR时，z12+z22=0z1=0且z2=0；zC时，若z12+z22=0则z12=-z22,所以z1=+/- z2i.典例：若（1+i)(2+i)=a+bi,其中a,bR,i为虚数单位，则a+b= .4、 共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫作互为共轭虚数。通常记复数为z的共轭复数为.注意：互为共轭复数对应的点在复平面上关于实轴对称。 实数的共轭复数是它本身。 若z0且z+=0,则z为纯虚数。典例：若复数z=1+i(i是虚数单位），是z的共轭复数，则z2+2虚部为（ ） A、0 B、-1 C、1 D、-25、 复数的除法（a+bi)(c+di)=(ac+bd)/c2+d2 + (bc-ad)/c2+d2 i (c+di0). 复数除法运算实际是乘法的逆运算。典例：已知i是虚数单位，则3+i/1-i=( )A、1-2i B、2-i C、2+i D、1+2i复数的综合运算1、 若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位），则z为（ ） A、3+5i B、3-5i C、-3+5i D、-3-5i变式训练：设i为虚数单位，则复数5-6i/i=（ )A、6+5i B、6-5i C、-6+5i D、-6-5i2. 复数的方程问题 若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）A、 b=2,c=3 B、b=-2,c=3 C、b=-2,c=-1 D、b=2,c=-1变式训练：方程x2+6x+13=0的一个根是（ ）A、 -3+2i B、3+2i C、-2+3i D、2+3i3、 纯虚数考察两个共轭复数的差是（ ）A、 实数 B、纯虚数 C、零 D、零或纯虚数4、 复数的几何意义 复平面内，满足条件|z-2i|+|z+1|=5的点的轨迹是（ ）A、 椭圆 B、直线 C、线段 D、圆 常用结论