2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc

2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四（时间：120分钟 满分：150）姓名_一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1已知三个数，则它们的大小关系是_2已知两点、到直线的距离分别是，则满足条件的直线一共有_条3设为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如；记，则_4在平面上，所围成图形的面积为，则，的交集所表示的图形面积为_5在正2014边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为_6设函数，在时的最小值为_7设手表的表面在一平面上；整点1，2，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上；从整点到整点的向量记作，则_8在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是_9设是非零常数，若，则_10已知，若为单元素集，则_二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，（1）求动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求的值12若数列满足，数列满足，求证：13锐角中，分别是边的中点，的垂心、外心分别为，射线分别与的外接圆交于点，设是的垂心；求证：三点共线14六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子；问：（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差；在所有的骰子中，求的最大值和最小值2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四答案一、填空题：1已知三个数，则它们的大小关系是_解：因为；令，则；又因为，所以；再令，则，而，所以；综上，2已知两点、到直线的距离分别是，则满足条件的直线一共有_条解：由，分别以、为圆心，和为半径作两个圆，则两圆外切，共有3条公切线3设为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如；记，则_解：将，记作：，于是有：从89开始，是周期为8的周期数列故4在平面上，所围成图形的面积为，则，的交集所表示的图形面积为_解：在平面上的图形关于轴与轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得；为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了；由题意可得的图形在第一象限的面积为；总面积为5在正2014边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为_解：正边形，对角线共有条；计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自个点，平行线共条；故与某一边平行的对角线共条；由此可得与任何边都不平行的对角线共有：条，故条数为6设函数，在时的最小值为_解：原表达式变形为：（由调和平均值不等式处理其中的不等号）要使上式等号成立，当且仅当：得到，即得；因为，所以当时，所以7设手表的表面在一平面上；整点1，2，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上；从整点到整点的向量记作，则_解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形；相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角为；各边向量的长为，则；共有12个相等项；所以求得数量积之和为8在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是_解：三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足且；对于给定的，可以取1，2，；故三数成递增等差数列的个数为：；三数成递增等差数列的概率为：9设是非零常数，若，则_解：已知：，；将改写成：；而；所以有：；即，即，将该值记为；则由知，；即：；而10已知，若为单元素集，则_解：由为单元素集，即直线与相切，则二、解答题：11在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，（1）求动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求的值解：（1）由，可得：；由，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为，则有：；整理得到动圆圆心轨迹方程： ；（5分）另解：由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程：，即（5分）（2）联立方程组：；消去得：，由整理得：； 从可知：；故令，代入可得：；再令，代入上式得：；（10分）同理可得，；可令，代入可得：； 对进行配方，可得：；对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以；令，则；所以： （15分）当且仅当时，为完全平方数；于是解得：；（20分）12若数列满足，数列满足，求证：证明：记：，则；而； （5分）因为，所以；（10分）从而有：； （1）又因为，所以，即；从而有：； （2） （15分）由（1）和（2）即得：；综合可得：；左边不等式的等号成立当且仅当时成立（20分）13锐角中，分别是边的中点，的垂心、外心分别为，射线分别与的外接圆交于点，设是的垂心；求证：三点共线 证明：连结；因为是的垂心，所以；又因为是边的中点，由同一法可知：四边形是平行四边形；所以，于是，是外接圆的直径；所以是与的对称中心，即，从而与关于对称，且为的中点；即三点共线14六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子；问：（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差；在所有的骰子中，求的最大值和最小值解：（1）设桌面上有一个与骰子的侧面全等的正方形把一个骰子放到该正方形上的放法共种，6指6个面，